Упражнение 1151 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y \le -0,5x + 2,\\ x \ge 0,\\ y \ge 0 \end{cases} \)

\(y = -0,5x + 2\)

\( \begin{cases} x \ge 0,\\ y \ge 0 \end{cases} \) - I координатная четверть.

Область пересечения - прямоугольный треугольник.

\(S = \frac{1}{2}\cdot2 \cdot 4 = 4.\)

Ответ: площадь равна 4.

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

– Пересечение полуплоскостей даёт геометрическую фигуру - прямоугольный треугольник.

– Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника, для которого катеты прямоугольного треугольника являются длиной и шириной. Значит, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Подробности шагов:

Сначала выделили границы \(x\ge0\) и \(y\ge0\) — первая четверть координатной плоскости.

Затем прямая \(y=-0,5x+2\) ограничивает область сверху.

Решение системы неравенств - область пересечения - прямоугольный треугольник.

Катеты этого треугольника лежат вдоль осей \(Ox\) и \(Oy\) с длинами 4 и 2 соответственно.

Поэтому площадь равна половине произведения этих катетов.

а) \(3(x - 2y) - 2(x - 4y) = 4\)

\( 3x - 6y - 2x + 8y = 4\)

\(x + 2y = 4\)

\(2y = 4 - x \)

\(y = 2 - 0,5x \)

\(y = -0,5x+2 \)

б) \(2(0{,}5x - 1{,}2y) - (0{,}6y + x) = 6\)

\( \cancel{x} - 2{,}4y - 0{,}6y - \cancel{x} = 6 \)

\( -3y = 6 \)

\(y = -\frac{6}{3}\)

\(y = -2\)

в) \(3(0{,}4y - 0{,}2x) - 4(0{,}3y - 0{,}6x) = 0{,}6\)

\(\cancel{1{,}2y} - 0{,}6x - \cancel{1{,}2y} + 2{,}4x = 0{,}6 \)

\( 1{,}8x = 0{,}6\)

\( x = \frac{0{,}6}{1{,}8} \)

\( x = \frac13 \)

Пояснения:

– Любое уравнение вида \(ax + by = c\) задаёт на плоскости прямую.

– Чтобы построить прямую, удобно привести к виду \(y = kx + b\).

– Распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\).

– Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

– Для прямой в виде \(y = -0,5x+2 \) достаточно отметить две точки и провести через них прямую.

– Горизонтальная прямая: \(y = -2\),

вертикальная прямая: \(x = \frac{1}{3}\).