Упражнение 150 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle\biggl(\frac{x}{y^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} -\frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y^2}}} \biggr):\biggl(\frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} +\frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \biggr)=\)

\(=\frac{x^2-y^2}{x\,y^2}:\frac{x+y}{x\,y} =\)

\(=\frac{(x-y)(x+y)}{x\,y^2}\cdot\frac{x\,y}{x+y} =\)

\(=\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}\cancel{xy}}{\cancel{x}\,y^{\cancel{2}}\,\cancel{(x+y)}} =\frac{x-y}{y}.\)

б) \(\displaystyle\biggl(\frac{a}{m^2} ^{\color{blue}{\backslash{m}}} +\frac{a^2}{m^3}\biggr):\biggl(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} \biggr)=\)

\(=\displaystyle\frac{a\,m+a^2}{m^3}:\frac{m^2+m\,a}{a^2} =\)

\(=\displaystyle\frac{a(m+a)}{m^3}:\frac{m(m+a)}{a^2} =\)

\(=\frac{a(m+a)}{m^3}\cdot\frac{a^2}{m(m+a)} =\)

\(=\frac{a\cancel{(m+a)}\cdot a^2}{m^3\cdot m\cancel{(m+a)}}=\frac{a^3}{m^4}.\)

в) \(\displaystyle\frac{ab+b^2}{3}:\frac{b^3}{3a}+\frac{a+b}{b}=\)

\(=\frac{b(a+b)}{3}\cdot\frac{3a}{b^3} + \frac{a+b}{b} =\)

\(=\frac{\cancel{b}(a+b)\cdot\cancel{3}a}{\cancel{3}\cdot b^{\cancel{3}  ^2}} + \frac{a+b}{b} =\)

\(=\displaystyle\frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{a+b}{b} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(=\frac{a(a+b)+b(a+b)}{b^2} =\)

\(=\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} =\frac{(a+b)^2}{b^2}.\)

г) \(\displaystyle\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{5y}=\)

\(=\displaystyle\frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{5y}=\)

\(=\displaystyle\frac{x-y}{x}-\frac{\cancel{5y}\cdot \cancel{x}(x-y)}{x^{\cancel{2}}\cdot\cancel{5y}}=\)

\(=\displaystyle\frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=\)

\(=\frac{\cancel{x}-\cancel{y}-\cancel{x}+\cancel{y}}{x}=\frac{0}{x}=0\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

а) Сначала привели оба выражения к общему виду дробей, затем применили правило деления — умножили на перевёрнутую дробь, раскрыли произведение множителей, сократили одинаковые множители.

б) Выполнили вынос общего множителя \(a\) и \(m\), затем деление дробей и сокращение степеней.

в) Вынесли \(b\) из числителя первой дроби, разделили дроби, сложили результаты, привели к общему знаменателю и получили полный квадрат.

г) Сначала вычислили произведение, затем выполнили вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

a) \(\Bigl(\frac{2m+1}{2m-1} ^{\color{blue}{\backslash{2m+1}}} -\frac{2m-1}{2m+1} ^{\color{blue}{\backslash{2m-1}}} \Bigr) :\frac{4m}{10m-5}=\)

\(= \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5}=\)

\( = \frac{4m^2 + 4m + 1 - (4m^2 - 4m + 1)}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)

\( = \frac{\cancel{4m^2} + 4m + \cancel1 - \cancel{4m^2} + 4m - \cancel1}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{10m-5} =\)

\(=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} :\frac{4m}{5(2m-1)} =\)

\(= \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot\; \frac{5(2m-1)}{4m} =\)

\( = \frac{^2\cancel{8m}\cdot5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)\cdot \cancel{4m}} =\)

\( = \frac{10}{2m+1}. \)

б) \( \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\biggl(\frac{x+3}{x-3} ^{\color{blue}{\backslash{x+3}}} + \frac{x-3}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} \biggr) =\)

\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} =\)

\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{x^2+\cancel{6x}+9 + x^2 -\cancel{6x}+9}{(x-3)(x+3)} =\)

\(=\frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)}= \)

\( = \frac{x+3}{x^2+9}\;\cdot\;\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \)

\(=\frac{\cancel{(x+3)}\cdot2\,\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}\cdot(x-3)\,\cancel{(x+3)}} =\)

\(=\frac{2}{x-3}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы:

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\);

7) Квадрат разности:

\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

9) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Пояснения к пункту а):

1. Для разности дробей привели к общему знаменателю

\((2m-1)(2m+1)\).

2. Раскрыли квадраты и вычислили разность:

\( (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = 8m. \)

3. Разделили полученную дробь на \(\frac{4m}{10m-5}\) через умножение на обратную дробь.

4. Представили \(10m-5\) как

\(5(2m-1)\) для сокращения с

\((2m-1)\), затем сократили множители \(m\) и \((2m-1)\).

Пояснения к пункту б):

1. Внутри скобок привели дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\) и сложили числители.

2. Раскрыли квадраты, получив

\(2x^2 + 18\), вынесли общий множитель 2: \(2(x^2+9)\).

3. Умножили на внешнюю дробь

\(\frac{x+3}{x^2+9}\), затем сократили

\((x^2+9)\) и \((x+3)\).