Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№410 учебника 2023-2025 (стр. 97):
(Задача-исследование.) Проверить, верны ли равенства
\( \sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}},\)
\(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}. \)
Выяснить, каким должно быть соотношение между натуральными числами \(a\) и \(b\), чтобы было верно равенство
\( \sqrt{\,a + \frac{a}{b}\,} \;=\; a\sqrt{\frac{a}{b}}, \)
где \(a\in\mathbb{N},\ b\in\mathbb{N}. \)
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\).
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
№410 учебника 2013-2022 (стр. 98):
Внесите множитель под знак корня:
а) \(7\sqrt{10}\);
б) \(5\sqrt{3}\);
в) \(6\sqrt{x}\);
г) \(10\sqrt{y}\);
д) \(3\sqrt{2a}\);
е) \(5\sqrt{3b}\).
№410 учебника 2023-2025 (стр. 97):
Вспомните:
№410 учебника 2013-2022 (стр. 98):
Вспомните:
№410 учебника 2023-2025 (стр. 97):
\( \sqrt{a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)
\( \Bigl(\sqrt{a + \frac{a}{b}}\Bigr)^2 = \Bigl(a\sqrt{\frac{a}{b}}\Bigr)^2\)
\( a + \frac{a}{b} = a^{2}\cdot\frac{a}{b} \)
\( a + \frac{a}{b}= \frac{a^{3}}{b} \) /\(\times{b}\)
\( a\,b + a = a^{3} \)
\(a(b+1) = a^{3} \) / \( : a\)
\( b + 1 = a^{2} \)
\(b = a^{2} - 1. \)
Вывод:
Если \(b = a^{2} - 1\), то
\(\sqrt{\,a + \frac{a}{b}\,} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\)
Примеры:
1) \( \sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\( \sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(a=2\), тогда
\(b = 2^{2}-1 =4-1= 3\).
\(\sqrt{2+\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} =\sqrt{4\cdot\frac{2}{3}}=\)
\(=\sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}.\)
2) \(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(\sqrt{3+\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\)
\(a=3\), тогда
\(b = 3^{2}-1 =9-1= 8\)
\(\sqrt{3+\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{9\cdot\frac{3}{8}}= \)
\(=\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}.\)
3) \(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}} \)
\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}. \)
\(a=4\), тогда
\(b = 4^{2}-1 =16 - 1= 15\)
\(\sqrt{4+\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{16\cdot\frac{4}{15}} =\)
\(=\sqrt{16}\cdot\sqrt{\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}.\)
Пояснения:
Использованные приемы:
- Запись смешанного числа:
\(a + \frac{b}{c} = a\frac{b}{c} \).
- Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
- Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
№410 учебника 2013-2022 (стр. 98):
а) \(7\sqrt{10} = \sqrt{7^2\cdot10}= \sqrt{49\cdot10} =\)
\(=\sqrt{490}.\)
б) \(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2\cdot3}=\sqrt{25\cdot3} = \sqrt{75}.\)
в) \(6\sqrt{x} = \sqrt{6^2\cdot x} = \sqrt{36x}.\)
г) \(10\sqrt{y} = \sqrt{10^2\cdot y} = \sqrt{100y}.\)
д) \(3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2\cdot2a} =\sqrt{9\cdot2a} = \)
\(=\sqrt{18a}.\)
е) \(5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2\cdot3b}=\sqrt{25\cdot3b} =\)
\(=\sqrt{75b}.\)
Пояснения:
– Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:
\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)
– Чтобы внести буквенный множитель \(x\) под знак корня, нужно учесть знак \(x\), то есть рассмотреть 2 случая, когда \(x \geqslant 0\) и когда \(x< 0\), учитывая то, что при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), а при \(x< 0\) имеем \(|x| = -x\). Затем также как и с числовым множителем внешний буквенный множитель возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:
\( x\sqrt{A} = |x|\sqrt{A}= \sqrt{x^2\cdot A}, \) при \(x\geqslant 0\);
\( x\sqrt{A} = -|x|\sqrt{A}= -\sqrt{x^2\cdot A}, \) при \(x< 0\).
– Свойства степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\);
\((a^m)^n = a^{mn}\).
Вернуться к содержанию учебника