Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№519 учебника 2023-2025 (стр. 119):
Решите уравнение:
а) \(4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7\);
б) \(-5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3\);
в) \(10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x\);
г) \(1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1\).
№519 учебника 2013-2022 (стр. 121):
Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?
1. \(x^2 - 19 = 0\)
2. \(x^2 + 19 = 0\)
3. \(x^2 - 19x = 0\)
4. \(x^2 + 19x = 0\)
№519 учебника 2023-2025 (стр. 119):
Вспомните:
№519 учебника 2013-2022 (стр. 121):
Вспомните:
№519 учебника 2023-2025 (стр. 119):
а) \( 4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7 \)
\(4x^2 - 2x^2 -3x - x +7 -7 = 0\)
\(2x^2 -4x = 0 \)
\(2x(x-2)=0 \)
\(x=0 \) или \((x-2)=0\)
\( x=2\)
Ответ: \(0\); \(2\).
б) \( -5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3 \)
\(-5y^2 +8y +8 -8y -3 = 0 \)
\(-5y^2 +5 = 0 \)
\(-5y^2 = -5 \)
\(y^2 = 1 \)
\(y = -\sqrt1 \) и \(y = \sqrt1 \)
\(y = -1 \) и \(y = 1 \)
Ответ: \(-1\); \(1\).
в) \( 10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x\)
\(10 -3x^2 -x^2 -10 + x = 0\)
\(-4x^2 + x = 0 \)
\(x(-4x +1) = 0 \)
\(x = 0 \) или \(-4x +1 = 0 \)
\(-4x = -1 \)
\( x = \frac14 \)
Ответ: \(0\); \(\frac14 \).
г) \( 1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1 \)
\(1 -2y +3y^2 -y^2 +2y -1 = 0\)
\(2y^2 = 0 \)
\(y^2 = 0 \)
\(y = 0 \)
Ответ: \(0\).
Пояснения:
Использованные приемы:
1. В каждом уравнении сначала переносим все компоненты из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.
2. Приводим подобные слагаемые и получаем неполное квадратное уравнение.
3. Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).
Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\) и \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).
Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.
4. Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:
\(x(ax + b) = 0\).
Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).
Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим
\(x = -\frac{b}{a}\).
То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:
\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).
№519 учебника 2013-2022 (стр. 121):
1. \(x^2 - 19 = 0 \)
\(x^2 = 19 \)
\(x = -\sqrt{19}\) или \(x = \sqrt{19}\).
2. \(x^2 + 19 = 0 \)
\(x^2 = -19\) - корней нет.
3. \(x^2 - 19x = 0 \)
\(x(x - 19) = 0 \)
\(x = 0\) или \((x - 19) = 0 \)
\(x = 19\)
4. \(x^2 + 19x = 0 \)
\(x(x + 19) = 0 \)
\(x = 0\) или \((x + 19) = 0 \)
\(x = -19\).
Ответ: 2.
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).
Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\) и \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).
Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.
2) Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:
\(x(ax + b) = 0\).
Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).
Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим
\(x = -\frac{b}{a}\).
То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:
\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).
Вернуться к содержанию учебника