Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№517 учебника 2023-2025 (стр. 119):
Верно ли утверждение:
а) неполное квадратное уравнение \(x^2 - 19 = 0\) не имеет корней;
б) неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19 = 0\) не имеет корней;
в) неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19x = 0\) не имеет корней?
№517 учебника 2013-2022 (стр. 120):
Решите уравнение:
а) \(3x^2 - 4x = 0\);
б) \(-5x^2 + 6x = 0\);
в) \(10x^2 + 7x = 0\);
г) \(4a^2 - 3a = 0\);
д) \(6z^2 - z = 0\);
е) \(2y + y^2 = 0\).
№517 учебника 2023-2025 (стр. 119):
Вспомните:
№517 учебника 2013-2022 (стр. 120):
Вспомните:
№517 учебника 2023-2025 (стр. 119):
а) \(x^2 - 19 = 0 \)
\(x^2 = 19 \)
\(x = -\sqrt{19}\) или \(x = \sqrt{19}\).
Ответ: утверждение неверно, уравнение имеет два корня.
б) \(x^2 + 19 = 0 \)
\(x^2 = -19\)
Ответ: утверждение верно, уравнение не имеет корней.
в) \(x^2 + 19x = 0 \)
\(x(x + 19) = 0 \)
\(x = 0\) или \((x + 19) = 0 \)
\(x = -19\).
Ответ: утверждение неверно, уравнение имеет два корня.
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).
Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\) и \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).
Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.
2) Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:
\(x(ax + b) = 0\).
Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).
Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим
\(x = -\frac{b}{a}\).
То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:
\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).
№517 учебника 2013-2022 (стр. 120):
а) \(3x^2 - 4x = 0\)
\(x(3x - 4) = 0\)
\(x = 0\) или \(3x - 4 = 0\)
\(3x = 4\)
\(x = \frac{4}{3}.\)
\(x = 1\frac{1}{3}\)
Ответ: \(0\); \(1\frac{1}{3}\).
б) \(-5x^2 + 6x =0\)
\(x(-5x + 6) = 0\)
\(x = 0\) или \(-5x + 6 = 0\)
\(-5x = -6\)
\(x = \frac{-6}{-5}\)
\(x = 1,2\)
Ответ: \(0\); \(1,2\).
в) \(10x^2 + 7x =0\)
\(x(10x + 7) = 0\)
\(x = 0\) или \(10x + 7 = 0\)
\(10x = -7\)
\(x = -\frac{7}{10}\)
\(x = -0,7\)
Ответ: \(0\); \(-0,7\).
г) \(4a^2 - 3a =0\)
\(a(4a - 3) = 0\)
\(a = 0\) или \(4a - 3 = 0\)
\(4a = 3\)
\(a = \frac{3}{4}\)
Ответ: \(0\); \(\frac{3}{4}\).
д) \(6z^2 - z =0\)
\(z(6z - 1) = 0\)
\(z = 0\) или \(6z - 1 = 0\)
\(6z = 1\)
\(z = \frac{1}{6}\)
Ответ: \(0\); \(\frac{1}{6}\).
е) \(2y + y^2 = 0\)
\(y(2+y) = 0\)
\(y = 0\) или \(2+y = 0\)
\(y = -2.\)
Ответ: \(0\); \(-2\).
Пояснения:
– Во всех уравнениях в левой части вынесли за скобки общий множитель (переменную), затем учли правило, согласно которому произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, что даёт два корня, один из которых равен нулю, а второй получается из решения линейного уравнения.
– Линейное уравнение \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).
– Также учитываем то, что кони уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
Вернуться к содержанию учебника