Упражнение 521 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2 - 5 = (x+5)(2x-1) \)

\(x^2 - 5= 2x^2 +9x -5 \)

\(x^2 -\cancel5 -2x^2 -9x +\cancel5 = 0 \)

\(-x^2 -9x = 0\)

\(x(-x -9)=0 \)

\(x=0\)    или   \(-x -9=0 \)

                      \(-x=9\)

                      \(x=-9\)

Ответ: \(0\);  \(-9\).

б) \( 2x - (x+1)^2 = 3x^2 -6\)

\(2x - (x^2+2x+1) =3x^2 -6\)

\(\cancel{2x} - x^2-\cancel{2x}-1 =3x^2 -6\)

\(-x^2 -1 = 3x^2 -6\)

\(-x^2 -1 - 3x^2 + 6=0\)

\(-4x^2 + 5 = 0 \)

\(4x^2 = 5 \)

\(x^2 = \frac 54 \)

\(x = -\sqrt{\frac 54} \)    и    \(x =\sqrt{\frac 54} \)

\(x = - \frac{\sqrt{5}}{2} \)          \(x = - \frac{\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( - \frac{\sqrt{5}}{2} \);  \(- \frac{\sqrt{5}}{2} \).

в) \( 6a^2 - (a+2)^2 = -4(а-4)\)

\(6a^2 - (a^2+4a+4) = -4a +16\)

\(5a^2 -4a -4 = -4a +16 \)

\( 5a^2 -\cancel{4a} -4 +\cancel{4a} -16 = 0 \)

\( 5a^2 -20 = 0 \)

\(5a^2 = 20\)

\(a^2 = \frac{20}{5}\)

\(a^2 = 4 \)

\(a = -\sqrt 4\)   и   \(a = \sqrt 4\)

\(a = -2\)            \(a = 2\)

Ответ: \(-2\); \(2\).

г) \( (5y+2)(y-3) = -13(2 + y)\)

\(5y^2 -15y +2y -6 =-26 -13y\)

\(5y^2 -13y -6= -26 -13y \)

\( 5y^2 -\cancel{13y} -6 +26 +\cancel{13y} = 0 \)

\( 5y^2 +20 = 0 \)

\( 5y^2 = -20 \)

\(y^2 = -\frac{20}{5}\)

\(y^2 = -4 \)

Ответ: корней нет.

Пояснения:

Использованные приемы:

1. В каждом уравнении сначала раскрыли скобки по следующим правилам:

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\);

- распределительное свойство умножения:

\(a(b + c)= ab + ac\);

- квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2\);

- квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. В каждом уравнении переносим все компоненты из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные.

3. Приводим подобные слагаемые и получаем неполное квадратное уравнение.

4. Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:

\(x(ax + b) = 0\).

Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим

\(x = -\frac{b}{a}\).

То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:

\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).

5. Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).

Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\)  и  \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.

6. Свойство корней:

\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).

а) \( 4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7 \)

\(4x^2 - 2x^2 -3x - x +7 -7 = 0\)

\(2x^2 -4x = 0 \)

\(2x(x-2)=0 \)

\(x=0 \)   или   \((x-2)=0\)

                        \( x=2\)

Ответ: \(0\); \(2\).

б) \( -5y^2 + 8y + 8 = 8y + 3 \)

\(-5y^2 +8y +8 -8y -3 = 0 \)

\(-5y^2 +5 = 0 \)

\(-5y^2 = -5 \)

\(y^2 = 1 \)

\(y = -\sqrt1 \)   и   \(y = \sqrt1 \)

\(y = -1 \)   и   \(y = 1 \)

Ответ: \(-1\); \(1\).

в) \( 10 - 3x^2 = x^2 + 10 - x\)

\(10 -3x^2 -x^2 -10 + x = 0\)

\(-4x^2 + x = 0 \)

\(x(-4x +1) = 0 \)

\(x = 0 \)   или   \(-4x +1 = 0 \)

                       \(-4x = -1 \)

                        \( x = \frac14 \)

Ответ: \(0\);  \(\frac14 \).

г) \( 1 - 2y + 3y^2 = y^2 - 2y + 1 \)

\(1 -2y +3y^2 -y^2 +2y -1 = 0\)

\(2y^2 = 0 \)

\(y^2 = 0 \)

\(y = 0 \)

Ответ: \(0\).

Пояснения:

Использованные приемы:

1. В каждом уравнении сначала переносим все компоненты из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.

2. Приводим подобные слагаемые и получаем неполное квадратное уравнение.

3. Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).

Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\)  и  \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.

4. Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:

\(x(ax + b) = 0\).

Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим

\(x = -\frac{b}{a}\).

То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:

\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).