Упражнение 518 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 5a^2 + 5a - 6 = 24 \)

\(5a^2 + 5a - 30 = 0 \)   \(/ : 5\)

\(a^2 + a - 6 = 0\)

\( a^2 + a - 6 =0\)

\( a^2 + 3а - 2a - 6 =0\)

\( a(a + 3) - 2(a + 3) =0\)

\((a+3)(a-2) = 0 \)

\(a + 3 = 0\)   или   \(a - 2 = 0\)

\(a = -3\)                \( a = 2 \)

Ответ: при \(a= -3\) и \(a = 2\).

б) \( a(a-4) = 60\)

\(a^2 - 4a - 60 = 0 \)

\(a^2 - 10a + 6a - 60 = 0 \)

\(a(a - 10) + 6(a - 10) = 0 \)

\((a - 10)(a+6) = 0\)

\(a - 10 = 0\)   или   \(a + 6 = 0\)

\(a = 10\)                   \(a = -6\)

Ответ: при \(a = 10\) и \(a = -6\).

Пояснения:

Использованные приемы:

- Согласно условиям составили уравнения.

- В каждом уравнении перенесли все компоненты в левую часть, изменив знаки на противоположные, затем в пункте а) разделили обе части уравнения на 5, а в пункте б) раскрыли скобки.

- Используя способ группировки, разложили на множители левую часть каждого уравнения.

- Учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получили два линейных уравнения, решив которые нашли искомые значения \(a\).

а) \(2x^2 + 3x =0\)

\(x(2x + 3) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(2x + 3 = 0\)

                       \(2x = -3\)

                        \(x = -\frac{3}{2}\)

                        \(x = -1,5\)

Ответ: \(0\);  \(-1,5\).

б) \(3x^2 - 2 = 0\)

\(3x^2 = 2\)

\(x^2 = \frac{2}{3}\)

\(x = -\sqrt{\frac{2}{3}}\)   или   \(x = \sqrt{\frac{2}{3}}\)

Ответ: \( -\sqrt{\frac{2}{3}}\);  \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).

в) \(5u^2 - 4u =0\)

\(u(5u - 4) = 0\)

\(u = 0\)   или   \(5u - 4 = 0\)

                       \(5u = 4\)

                       \(u = \frac{4}{5}\)

                       \(u =0,8\)

Ответ: \(0\); \(0,8\).

г) \(7a - 14a^2 =0\)

\(a(7 - 14a) = 0\)

\(a = 0\) или \(7 - 14a = 0\)

                   \(-14a = -7\)

                   \(a = \frac{-7}{-14}\)

                   \(a = 0,5\)

Ответ: \(0\);  \(0,5\).

д) \(1 - 4y^2 = 0\)

\(-4y^2 = -1\)

\(4y^2 = 1\)

\(y^2 = \frac{1}{4}\)

\(y = -\sqrt{\frac{1}{4}}\)   или   \(y = \sqrt{\frac{1}{4}}\)

\(y = -\frac{1}{2}\)                 \(y = \frac{1}{2}\)

\(y = -0,5\)              \(y = 0,5\)

Ответ: \(-0,5\);  \(0,5\).

е) \(2x^2 - 6 = 0\)

\(2x^2 = 6\)

\(x^2 = \frac62\)

\(x^2 = 3\)

\(x = -\sqrt{3}\)   или   \(x = \sqrt{3}\)

Ответ: \(-\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\).

Пояснения:

Приемы, использованные в пунктах а), в), г):

– Во всех уравнениях в левой части вынесли за скобки общий множитель (переменную), затем учли правило, согласно которому произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, что даёт два корня, один из которых равен нулю, а второй получается из решения линейного уравнения.

– Линейное уравнение \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

– Также учитываем то, что кони уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Приемы, использованные в пунктах б), д), е):

1. Кони уравнения не изменяются:

- если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный;

- если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число.

2. Используя свойства уравнений, все уравнения привели к виду \(x^2 = a\). Учитывая то, что во всех уравнениях \(a \ge 0\) извлекая корень из правой части уравнения нашли \(x = \pm\sqrt{a}\).