Упражнение 599 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-7x=0\)

\(x(x-7)=0 \)

\(x=0\) или \(x-7=0\)

                  \(x=7\)

Ответ: \(0;  7\).

б) \(2x-5=0\)

\(2x = 5\)

\(x=\frac52\)

\(x=2,5\)

Ответ: \(2,5\).

в) \(y^{3}-4y=0\)

\(y(y^{2}-4)=0\)

\(y(y-2)(y+2)=0\)

\(y=0\) или \(y=2\) или \(y=-2\)

Ответ: \(0; -2; 2\).

г) \(y^{4}-16=0\)

\((y^{2})^2-4^2=0\)

\((y^{2})^{2}-4^{2}=0\)

\((y^{2}-4)(y^{2}+4)=0\)

\((y-2)(y+2)(y^{2}+4)=0\)

\(y - 2=0\) или \(y + 2 = 0\)

\(y=2\)               \( y=-2\)

или \(y^2 + 4 = 0\) - корней нет.

Ответ: \(2; -2\).

Пояснения:

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя:

\(ka + kb = k(a+b)\).

— Формула разности квадратов:

\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\).

— Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

— Свойство произведения:

если \(AB=0\), то \(A=0\) или \(B=0\).

— Линейное уравнение \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда вторая сторона - \(x+14\) см, диагональ \(34\).

По теореме Пифагора составим уравнение:

\(x^{2}+(x+14)^{2}=34^{2}\)

\(x^{2}+x^{2}+28x+196=1156\)

\(2x^{2}+28x+196-1156=0\)

\(2x^{2}+28x-960=0\)    \(/ : 2\)

\(x^{2}+14x-480=0\)

\(a = 1\),  \(b = 14\),  \(c = -480\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=14^{2}-4\cdot1\cdot(-480)=\)

\(=196+1920=2116\);   \(\sqrt D = 46\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-14+46}{2\cdot1} =\frac{32}{2}=16\)

\(x_2=\frac{-14-46}{2\cdot1} =\frac{-60}{2}=-30\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\).

1) \(16\) (см) - первая сторона прямоугольника.

2) \(16 + 14 = 30\) (см) - вторая сторона прямоугольника.

Ответ: \(16\) см и \(30\) см.

Пояснения:

Пояснение шагов:

1) Стороны прямоугольника образуют катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой-диагональю, поэтому составили уравнение:

\(\;x^{2}+(x+14)^{2}=34^{2}\).

2) По формуле квадрат суммы двух выражений раскрыли скобки, привели подобные члены и получили квадратное уравнение:

\(\;x^{2}+14x-480=0\).

3) Посчитали дискриминант  и нашли корни уравнения. Отрицательный корень не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной. Положительный корень показывает значение длины меньшей стороны прямоугольника.

4) Находим большую сторону прямоугольника, учитывая то, что она на 14 см больше меньшей стороны.