Упражнение 691 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

При графическом методе решения систем уравнений решением системы являются координаты точки пересечения графиков этих уравнений.

Уравнения системы \(\begin{cases}2x-y=5,\\ x+y=1\end{cases}\) пересекаются в точке \((2;-1)\) и уравнения системы \(\begin{cases}(2x-y)+(x+y)=5+1,\\ x+y=1.\end{cases}\) пересекаются в точке \((2;-1)\), значит, каждая из этих систем имеет решение \((2;-1)\), что говорит о равносильности систем.

а) \(y=\dfrac{2x-5}{x+3}\),     \(x\neq-3\).

\(\dfrac{2x-5}{x+3}=0\)

\( 2x-5=0\)

\( 2x=5\)

\(x=\frac{5}{2}\)

\(x=2,5\)

Ответ: \((2,5; 0)\).

б) \(\dfrac{(x-4)(3x-15)}{x-9}=0 \),     \(x\neq9\).

\((x-4)(3x-15)=0\)

\(x-4=0\)   или   \(3x-15=0\)

\(x =4\)                   \(3x=15\)

                              \(x = \frac{15}{3}\)

                              \(x = 5\)

Ответ: \((4,0), (5,0).\)

в) \(\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}=0\),     \(x\neq2\).

\(x^2-5x+6=0\)

\(a =1\),  \(b = -5\),  \(c= 6\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 -4\cdot1\cdot6=\)

\(=25 - 24 = 1\),    \(\sqrt D =1\).

\(x_1=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\).

\(x_2=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \((3; 0)\).

г) \(\dfrac{x^3-7x^2+12x}{x-3}=0 \),     \(x\neq3\).

\(x^3-7x^2+12x=0\)

\(x(x^2-7x+12)=0\)

\(x^2-7x+12=0\)   или   \(x=0\)

\(a =1\),  \(b = -7\),  \(c= 12\)

\(D = b^2 - 4ac =(-7)^2-4\cdot1\cdot12=\)

\(=49 -48=1\),      \(\sqrt D = 1\).

\(x_1=\frac{-(-7)+1}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4\).

\(x_2=\frac{-(-7)-1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \((0,0), (4,0).\)

Пояснения:

Точки пересечения с осью \(x\) находятся из условия \(y=0\), то есть числитель функции равен нулю, при этом знаменатель не равен нулю. Решения уравнения — это абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения. При этом нужно проверить, что в этих точках знаменатель не обращается в ноль, иначе точка исключается.