Упражнение 696 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=5,\\ 6x+5y=-4 \end{cases} \]

а) \((-2;\;1)\)

\[ \begin{cases} (-2)^{2}+1^{2}=5,\\ 6\cdot(-2)+5\cdot1=-4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 5=5 - верно,\\ -7=-4 - неверно.\end{cases} \]

Ответ: не является решением системы.

б) \((1;\;-2)\)

\[ \begin{cases} 1^{2}+(-2)^{2}=5,\\ 6\cdot1+5\cdot(-2)=-4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 5=5 - верно,\\ -4=-4 - верно\end{cases} \]

Ответ: является решением системы.

---

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство.

а) \(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{3(2x-1)}{7(2x+1)}+\dfrac{8}{1-4x^2}=0\)

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{3(2x-1)}{7(2x+1)}-\dfrac{8}{4x^2-1}=0\)

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{3(2x-1)}{7(2x+1)}-\dfrac{8}{(2x-1)(2x+1)}=0\)   \(/\times7(2x-1)(2x+1)\)

ОДЗ:

\(2x - 1 \neq0\)  и  \(2x + 1 \neq0\)

\(2x \neq1\)              \(2x \neq-1\)

\(x \neq \frac12\)               \(x \neq -\frac12\)

\(x \neq0,5\)            \(x \neq0,5\)

\(7(2x+1)^2 -3(2x-1)^2 - 56 = 0\)

\(7(4x^2 +4x + 1) - 3(4x^2 -4x +1) - 56 = 0\)

\(28x^2 +28x +7 -12x^2 +12x -3 - 56 = 0\)

\(16x^2 +40x - 52 = 0\)    \(/ :4\)

\(4x^2 +10x - 13 = 0\) 

\(a = 4\),  \(b = 10\),  \(c = -13\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=10^2 - 4\cdot4\cdot(-13) =\)

\(=100 +208 = 308\),

\(\sqrt D = \sqrt{308} = \sqrt{4\cdot77} = 2\sqrt{77}\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-10\pm 2\sqrt{77}}{2\cdot4}=\dfrac{\cancel2(-5\pm \sqrt{77})}{\cancel8_4}=\)

\(=\dfrac{-5\pm \sqrt{77}}{4}.\)

Ответ: \(x=\dfrac{-5+\sqrt{77}}{4}; \;\dfrac{-5-\sqrt{77}}{4}.\)

б) \(\dfrac{y}{y^2-9}-\dfrac{1}{y^2+3y}+\dfrac{3}{6y+2y^2}=0\)

\(\dfrac{y}{(y-3)(y+3)}-\dfrac{1}{y(y+3)}+\dfrac{3}{2y(y+3)}=0\)   \(/\times2y(y-3)(y+3)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\)  и  \(y - 3 \neq0\)  и  \(y + 3 \neq0\)

                \(y\neq3\)              \(y\neq-3\)

\(2y^2-2(y-3)+3(y-3) = 0\)

\(2y^2 -2y + 6 + 3y - 9= 0\)

\(2y^2 + y -3 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 1\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =1^2 - 4\cdot2\cdot(-3) =\)

\(=1 + 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(y_1=\dfrac{-1+ 5}{2\cdot2}=\frac44=1\).

\(y_2=\dfrac{-1- 5}{2\cdot2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}=1,5\)

Ответ: \(y=1; \; -1,5.\)

в) \(\dfrac{2y-1}{14y^2+7y}+\dfrac{8}{12y^2-3}=\dfrac{2y+1}{6y^2-3y}\)

\(\dfrac{2y-1}{7y(2y+1)}+\dfrac{8}{3(4y^2-1)}=\dfrac{2y+1}{3y(2y-1)}\)

\(\dfrac{2y-1}{7y(2y+1)}+\dfrac{8}{3(2y-1)(2y+1)}=\dfrac{2y+1}{3y(2y-1)}\)   \(/\times21y(2y-1)(2y+1)\)

ОДЗ:

\(y \neq0\)  и  \(2y - 1 \neq0\)  и  \(2y + 1 \neq0\)

                \(2y \neq1\)              \(2y \neq-1\)

                \(y \neq \frac12\)               \(y \neq -\frac12\)

                \(y \neq0,5\)            \(y \neq0,5\)

\(3(2y-1)^2 +56y = 7(2y + 1)^2\)

\(3(4y^2 - 4y + 1) + 56y = 7(4y^2 + 4y + 1)\)

\(12y^2 -12y + 3 + 56y =28y^2 + 28y + 7\)

\(12y^2 -12y + 3 + 56y -28y^2 - 28y - 7=0\)

\(-16y^2 +16y -4 = 0\)   \(/ : (-4)\)

\(4y^2 - 4y +1 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = -4\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac =(-4)^2 - 4\cdot4\cdot1 =\)

\(=16 - 16 = 0\).

\(x=\frac{-(-4)}{2\cdot4} = \frac{4}{8} = \frac12=0,5\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: нет корней.

г) \(\dfrac{3}{x^2-9}-\dfrac{1}{9-6x+x^2}=\dfrac{3}{2x^2+6x}\)

\(\dfrac{3}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{1}{(x-3)^2}=\dfrac{3}{2x(x+3)}\)   \(/\times2x(x-3)^2(x + 3)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\)  и  \(x - 3 \neq 0\)  и  \(x + 3\neq0\)

                \(x \neq 3\)              \(x \neq-3\)

\(6x(x - 3) - 2x(x+3) =3(x-3)^2\)

\(6x^2  -18x -2x^2 - 6x = 3(x^2 -6x +9)\)

\(4x^2 -24x = 3x^2 -18x +27\)

\(4x^2 -24x - 3x^2 + 18x - 27=0\)

\(x^2 -6x -27 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -27\)

\(D = b^2 - 4ac =(-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-27) = \)

\(=36 + 108 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(x_1=\dfrac{-(-6)+ 12}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9\).

\(x_2=\dfrac{-(-6)- 12}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ:  \(x = 9\).

д) \(\dfrac{9x+12}{x^3-64}-\dfrac{1}{x^2+4x+16}=\dfrac{1}{x-4}\)

\(\dfrac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\dfrac{1}{x^2+4x+16}=\dfrac{1}{x-4}\) \(/\times (x-4)(x^2+4x+16)\)

ОДЗ:

\(x^3 - 64 \neq 0\)

\(x^3 \neq 64\)

\(x \neq 4\)

\(9x + 12 -(x - 4) = x^2+4x+16\)

\(9x + 12 - x +4 - x^2 - 4x - 16 = 0\)

\(-x^2 + 4x = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 4x = 0\) 

\(x(x - 4) = 0\)

\(x = 0\) или

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(x = 0\).

е) \(\dfrac{3}{8y^3+1}-\dfrac{1}{2y+1}=\dfrac{y+3}{4y^2-2y+1}\)

\(\dfrac{3}{(2y + 1)(4y^2-2y+1)}-\dfrac{1}{2y+1}=\dfrac{y+3}{4y^2-2y+1}\)  \(/\times(2y + 1)(4y^2-2y+1)\)

ОДЗ:

\(8y^3 + 1 \neq 0\)

\(8y^3 \neq-1\)

\(y^3 \neq -\frac18\)

\(y\neq -\frac 12\)

\(3 - (4y^2-2y+1)=(y+3)(2y + 1)\)

\(3 - 4y^2+2y-1=2y^2 + y + 6y + 3\)

\(3 - 4y^2+2y-1-2y^2 - y - 6y - 3=0\)

\(-6y^2 -5y-1 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(6y^2 + 5y + 1 = 0\)

\(a = 6\),  \(b = 5\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot6\cdot1 = \)

\(=25-24 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(y_1=\dfrac{-5+ 1}{2\cdot6}=\frac{-4}{12}=\frac13\).

\(y_2=\dfrac{-5- 1}{2\cdot6}=\frac{-6}{12}=-\frac12\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(y=-\dfrac{1}{3}.\)

ж) \(\dfrac{32}{x^3-2x^2-x+2}+\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x+1}\)

\(\dfrac{32}{x^2(x-2)-(x-2)}+\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x+1}\)

\(\dfrac{32}{(x^2-1)(x-2)}+\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x+1}\)

\(\dfrac{32}{(x-1)(x+1)(x-2)}+\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x+1}\) \(/\times(x-1)(x+1)(x-2)\)

ОДЗ:

\(x-1\neq0\)  и  \(x + 1\neq0\)  и  \(x-2\neq0\)

\(x\neq1\)             \(x \neq -1\)          \(x\neq2\)

\(32 +(x+1) = (x-1)(x-2)\)

\(32 + x+1 = x^2 -2x -x +2\)

\(32 + x+1 - x^2 + 2x + x - 2=0\)

\(-x^2 +4x +31 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 4x - 31 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -31\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-31)=\)

\(=16 + 124 = 140\),

\(\sqrt D = \sqrt{140} = \sqrt{4\cdot35} = 2\sqrt{35}\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-(-4)\pm 2\sqrt{35}}{2\cdot1}=\dfrac{\cancel2(2\pm \sqrt{35})}{\cancel2}=\)

\(=2\pm\sqrt{35}\).

Ответ: \(x=2+\sqrt{35}; \; 2-\sqrt{35}.\)

з) \(\dfrac{1}{3(x-4)}+\dfrac{1}{2(x^2+3)}+\dfrac{1}{x^3-4x^2+3x-12}=0\)

\(\dfrac{1}{3(x-4)}+\dfrac{1}{2(x^2+3)}+\dfrac{1}{x^2(x-4)+3(x-4)}=0\)

\(\dfrac{1}{3(x-4)}+\dfrac{1}{2(x^2+3)}+\dfrac{1}{(x^2+3)(x-4)}=0\)  \(/\times6(x-4)(x^2+3)\)

ОДЗ:  \(x - 4 \neq0\)

          \(x \neq 4\)

\(2(x^2 +3) +3(x-4) +6 = 0\)

\(2x^2 + 6 + 3x - 12 + 6 = 0\)

\(2x^2 + 3x = 0\)

\(x(2x + 3) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(2x + 3 = 0\)

                       \(2x = -3\)

                       \(x = -\frac32\)

                       \(x = -1,5\)

Ответ: \(x = 0; \; -1,5\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x=-\frac {b}{2a}\).

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\) решают разложением на множители

\(x(ax + b) = 0\), учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

Квадрат суммы двух выражений:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab +b^2\).

Квадрат разности двух выражений:

\((a -b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Свойства арифметического квадратного корня:

\(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot \sqrt b \).