Упражнение 692 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases}y - |x|=0,\\ y=kx+b\end{cases}\)

\(\begin{cases}y = |x|,\\ y=kx+b\end{cases}\)

\(y=|x|\)

Если \(x\ge0\), то \(y=x\)

Если \(x<0\), то \(y=-x\)

\(y=kx+b\) пересекает ось \(x\) в точке \((-3;0)\):

\(0=k\cdot(-3)+b\)

\(0=-3k+b\)

\(b=3k\), значит, прямая

\(y=kx+3k\)

1) Система имеет 2 решения при

\(k = \frac13\) и \(b = 3\cdot\frac13 = 1\).

\(\begin{cases}y - |x|=0,\\ y=\frac13x+1\end{cases}\)

\(y=\frac13x+1\)

2) Система имеет одно решение при

\(k = 1\) и \(b = 3\cdot1 = 3\).

\(\begin{cases}y - |x|=0,\\ y=x+3\end{cases}\)

\(y=x+3\)

3) Система не имеет решения при

\(k=-1\) и \(b = 3\cdot(-1) = -3\)

\(\begin{cases}y - |x|=0,\\ y=-x-3\end{cases}\)

\(y=-x-3\)

Пояснения:

Количество решений системы из двух уравнений определяется количеством точек пересечения графиков этих уравнений.

Для \(y = |x|\), возможно два случая:

\(y = x\) при \(x\ge0\),

\(y = -x\) при \(x<0\).

Графиком уравнения \(y=|x|\) являются биссектрисы I и II координатных четвертей, следовательно, система из двух уравнений \(y=|x|\) и \(y = kx +b\) будет иметь:

- два решения, если прямая

\(y = kx +b\) будет пересекать каждую из биссектрис,

- одно решение, если прямая

\(y = kx +b\) будет пересекать одну из биссектрис,

- ни одного решения, если прямая

\(y = kx +b\) не будет пересекать ни одну из биссектрис.

При этом учитываем то, что если для двух уравнений системы, приведенных к виду \(y=kx+b\):

\(1)\;k_1\ne k_2\) — прямые пересекаются, система имеет одно решение.

\(2)\;k_1=k_2,\;b_1\ne b_2\) — прямые параллельны, система не имеет решений.

\(3)\;k_1=k_2,\;b_1=b_2\) — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

а)  \(y=\dfrac{5x-7}{x^2+1}\)

\(x\) - любое число.

1) \(y=-6\):

\(\dfrac{5x-7}{x^2+1}=-6\)   \(/\times(x^2+1)\)

\(5x-7=-6(x^2+1)\)

\(5x-7=-6x^2-6\)

\(5x-7+6x^2+6=0\)

\(6x^2+5x-1=0\)

\(a = 6\),  \(b = 5\),  \(c = -1\)

\(D=b^2 - 4ac=5^2-4\cdot 6 \cdot (-1)=\)

\(=25+24=49,\)     \(\sqrt D = 7\).

\(x_1=\dfrac{-5 + 7}{2\cdot6} =\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\).

\(x_2=\dfrac{-5 - 7}{2\cdot6} =\dfrac{-12}{12}=-1\).

Ответ: при \(x_1 = \frac16\) и \(x_2 = -1\).

2) \(y=0\):

\(\dfrac{5x-7}{x^2+1}=0 \)   \(/\times(x^2+1)\)

\(5x-7=0\)

\(5x=7\)

\(x=\frac{7}{5}\)

\(x = 1,4\)

Ответ: \(x = 1,4\).

3) \(y=0,8=\frac{4}{5}\):

\(\dfrac{5x-7}{x^2+1}=\frac{4}{5}\)   \(/\times5(x^2+1)\)

\(5(5x - 7) = 4(x^2 + 1)\)

\(25x-35=4x^2+4\)

\(25x-35-4x^2-4=0\)

\(-4x^2 +25x - 39 = 0\)     \(/\times(-1)\)

\(4x^2-25x+39=0\)

\(a = 4\),  \(b = -25\),  \(c = 39\)

\(D=b^2 - 4ac= (-25)^2 - 4\cdot4\cdot39 =\)

\(=625-624=1,\)     \(\sqrt D = 1\).

\(x_1=\dfrac{-(-25) + 1}{2\cdot4}=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}\).

\(x_2=\dfrac{-(-25) - 1}{2\cdot4}=\frac{24}{8}=3\).

Ответ: при \(x_1 = 3\frac{1}{4}\) и \(x_2 =3\).

4) \(y=0,56=\frac{56}{100}=\frac{14}{25}\):

\(\dfrac{5x-7}{x^2+1}=\frac{14}{25}\)   \(/\times25(x^2+1)\)

\(25(5x - 7) = 14(x^2 + 1)\)

\(125x-175=14x^2+14\)

\(125x-175-14x^2-14=0\)

\(-14x^2+125x -189=0\) \(/\times(-1)\)

\(14x^2-125x+189=0\)

\(a = 14\),  \(b = -125\),  \(c = 189\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-125)^2 - 4\cdot14\cdot189 =\)

\(=15625-10584=5041,\)

\(\sqrt{D}=71.\)

\(x_1=\dfrac{-(-125) + 71}{28}=\frac{196}{28}=7\).

\(x_2=\dfrac{-(-125) + 71}{28}=\frac{27}{14}=1\frac{13}{14}\).

Ответ: при \( x_1=7\) и \(x_2=1\frac{13}{14}.\)

б) \(y=\dfrac{x^2-2x+6}{x+4}\),     \(x\neq-4\).

1) \(y=1,5=\frac{3}{2}\):

\(\dfrac{x^2-2x+6}{x+4}=\frac{3}{2}\)    \(/\times2(x+4)\)

\(2(x^2-2x+6)=3(x+4)\)

\(2x^2-4x+12=3x+12\)

\(2x^2-4x+12-3x-12=0\)

\(2x^2-7x=0\)

\(x(2x-7)=0\)

\(x=0 \)   или   \(2x-7=0\)

                       \(2x=7\)

                       \( x=\frac{7}{2}\)

                       \(x=3,5\)

Ответ: при \(x = 0\) или \(x = 3,5\).

2) \(y=3\):

\(\dfrac{x^2-2x+6}{x+4}=3\)    \(/\times(x+4)\)

\(x^2-2x+6=3(x+4)\)

\(x^2-2x+6=3x+12\)

\(x^2-2x+6-3x-12=0\)

\(x^2-5x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -6\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\((-5)^2 -4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=25+24 =49\),    \(\sqrt D = 7\).

\(x_1=\dfrac{-(-5)+ 7}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\).

\(x_2=\dfrac{-(-5)- 7}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\).

Ответ: при \(x_1 = 6\)  и  \(x_2 = -1\).

3) \(y=7\):

\(\dfrac{x^2-2x+6}{x+4}=7\)    \(/\times(x+4)\)

\(x^2-2x+6=7(x+4)\)

\(x^2-2x+6=7x+28\)

\(x^2-2x+6-7x-28=0\)

\(x^2-9x-22=0\)

\(a = 1\),  \(b = -9\),  \(c = -22\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot1\cdot(-22)=\)

\(D=81+88=169,\)     \(\sqrt{D}=13.\)

\(x_1=\dfrac{-(-9) + 13}{2\cdot1}=\dfrac{22}{2}=11\).

\(x_2=\dfrac{-(-9) - 13}{2\cdot1}=\dfrac{-4}{2}=-2\).

Ответ: при \(x_1=11\) и \(x_2 = -2.\)

Пояснения:

Чтобы найти \(x\), при котором функция принимает данное значение \(y\), нужно в эту функцию вместо \(y\) подставить заданное значение и решить полученное дробное рациональное уравнение.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\) решается вынесением общего множителя за скобки \(x(ax + b) = 0\), учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).