Упражнение 710 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2+y^2+3xy=-1, \\ x+2y=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-2y)^2+y^2+3\cdot(-2y)\cdot y=-1, \\ x=-2y \end{cases}\)

\( (-2y)^2+y^2+3\cdot(-2y)\cdot y=-1 \)

\( 4y^2+y^2-6y^2=-1 \)

\( -y^2=-1 \)

\(y^2=1 \)

\(y = \pm\sqrt1\)

\( y=\pm1\)

Если \(y=1\), то

\(x=-2\cdot1 = -2\).

Если \(y=-1\), то

\(x=-2\cdot(-1)=2\).

Ответ: \((-2;1), (2;-1)\).

б) \(\begin{cases} u+2v=4, \\ u^2+uv-v=-5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} u=4-2v, \\ (4-2v)^2+(4-2v)v-v=-5 \end{cases}\)

\( (4-2v)^2+(4-2v)v-v=-5 \)

\( 16-16v+4v^2+4v-2v^2-v+5=0\)

\( 2v^2-13v+21=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -13\),  \(c = 21\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-13)^2-4\cdot2\cdot21=\)

\(=169-168=1 \),     \(\sqrt D = 1\).

\(v_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( v_1 = \frac{-(-13) + 1}{2\cdot2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}=3,5\).

\( v_2 = \frac{-(-13) - 1}{2\cdot2} = \frac{12}{4} = 3\).

\(u_1=4-2\cdot3,5=4-7=-3\).

\(u_2=4-2\cdot3=4-6=-2\).

Ответ: \((-2;3), (-3;3,5)\).

Пояснения:

При решении каждой системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и выполнения преобразований в каждом случае получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

\(30\;мин = \frac12 \;ч\)

\(4 \; ч + \frac12 \; ч = 4\frac12 \; ч =\frac92 \; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{100}{x} + \frac{4x - 100}{x - 10} = \frac92\) \(/\times 2x(x-10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x - 10\neq 0\)

                            \(x\neq10\)

\(200(x-10) +2x(4x-100) = 9x(x - 10)\)

\(\cancel{200x} - 2000+ 8x^2 - \cancel{200x} = 9x^2 - 90x\)

\(9x^2 - 90x +2 000 -8x^2 = 0\)

\(x^2 - 90x + 2000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -90\),  \(c = 2000\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 =\)

\(=8100 - 8000 = 100\),   \(\sqrt D = 10\).

\(x_1= \frac{-(-90) + 10}{2\cdot1}=\frac{100}{2} =50\).

\(x_2= \frac{-(-90) - 10}{2\cdot1}=\frac{80}{2} =40\)

Если \(x = 50\) (км/ч), то

\(4\cdot50 = 200\) (км) - расстояние между городами.

Если \(x = 40\) (км/ч), то

 \(4\cdot40 = 160\). (км) - расстояние между городами.

Ответ: расстояние между городами может быть \(160\) км или \(200\) км.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

1. Формула пути: \[S = v \cdot t\]

2. Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

Мы обозначили скорость мотоциклиста из одного города в другой \(x\) км/ч. Так как мотоциклист ехал из одного города в другой за 4 часа, то расстояние можно выразить как \(S = 4x\).

При обратном пути условие изменилось: часть пути он проехал со скоростью \(x\), а оставшуюся часть со скоростью \(x - 10\), затратив на обратный путь на полчаса больше. Поэтому составили следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{100}{x} + \frac{4x - 100}{x - 10} = \frac92\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(50\) и \(40\). Оба корня удовлетворяют условию задачи, то есть мотоциклист мог двигаться либо со скоростью \(50\) км/ч, либо со скоростью \(40\) км/ч, тогда расстояние между городами может быть равно \(160\) км или \(200\) км соответственно.