Упражнение 708 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 2x+4y=5(x-y), \\ x^2-y^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x+4y=5x-5y, \\ x^2-y^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x+4y-5x+5y=0, \\ x^2-y^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -3x+9y=0,  / : (-3) \\ x^2-y^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x-3y=0, \\ x^2-y^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=3y, \\ (3y)^2-y^2=6 \end{cases}\)

\((3y)^2-y^2=6\)

\(9y^2 - y^2 = 6\)

\(8y^2 = 6\)

\(y^2 = \frac68\)

\(y^2 = \frac34\)

\(y = \pm\sqrt{\frac34}\)

\(y = \pm{\frac{\sqrt3}{2}}\)

Если \(y = \frac{\sqrt3}{2}\), то

\(x=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}\).

Если \(y = -\frac{\sqrt3}{2}\), то

\(x=3\cdot(-\frac{\sqrt3}{2})=-\frac{3\sqrt3}{2}\).

Ответ: \(\left(\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

б) \(\begin{cases} u-v=6(u+v), \\ u^2-v^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} u-v=6u+6v, \\ u^2-v^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} u-v-6u-6v=0, \\ u^2-v^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -5u-7v=0, \\ u^2-v^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -5u=7v, \\ u^2-v^2=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} u=-\frac{7}{5}v, \\ (-\frac{7}{5}v)^2-v^2=6 \end{cases}\)

\( \left(-\frac{7}{5}v\right)^2-v^2=6 \)

\(\frac{49}{25}v^2-v^2=6 \)

\(\frac{49}{25}v^2-\frac{25}{25}v^2=6 \)

\( \frac{24}{25}v^2=6\)

\(v^2 = 6 : \frac{24}{25}\)

\(v^2 = \cancel6 \cdot \frac{25}{\cancel{24}_4}\)

\(v^2=\frac{25}{4} \)

\(v^2=\pm\sqrt{\frac{25}{4}} \)

\( v=\pm\frac{5}{2} \)

\(v = \pm2,5\)

Если \(v=2,5\), то

\(u=-\frac75\cdot2,5=-\frac{7}{\cancel5}\cdot\frac{\cancel5}{2}=-\frac{7}{2}=\)

\(=-3,5\).

Если \(v=-2,5\), то

\(u=-\frac75\cdot(-2,5)=\frac{7}{\cancel5}\cdot\frac{\cancel5}{2}=\frac{7}{2}=\)

\(=3,5\).

Ответ: \(\left(-3,5;2,5\right), \left(3,5;-2,5\right)\).

Пояснения:

В каждом случае сначала раскрыли скобки, а затем упростили уравнение. Затем при решении систем уравнений использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки в каждом случае после подстановки получили неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

а) Сначала упростили линейное уравнение и получили соотношение \(x=3y\). Подставив во второе, получили квадратное уравнение для \(y\) и нашли два решения.

б) Из линейного уравнения выразили \(u\) через \(v\). Подставив во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(v\), нашли два решения, затем восстановили \(u\).

Составим уравнение:

\( \frac{120}{x} = 0,75 + 0,25 + \frac{120 - 0,75x}{x+5}\)

\( \frac{120}{x} = 1 + \frac{120 - 0,75x}{x+5}\) \(/\times x(x+5)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 5\neq 0\)

                            \(x\neq-5\)

\(120(x+5) = x(x+5) + x\left(120 - 0,75x\right)\)

\( 120x + 600 = x^2 + 5x + 120x - 0,75x^2\)

\(120x + 600 = 0,25x^2 + 125x\)

\(0,25x^2 + 125x - 120x - 600 = 0\)

\(0,25x^2 + 5x - 600 = 0\)   \(/\times 4\)

\( x^2 + 20x - 2400 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = -2400\)

\(D =b^2-4ac=\)

\(=20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) =\)

\(=400 + 9600 = 10000\),

\(\sqrt{D} = 100.\)

\( x_1 = \frac{-20 + 100}{2}=\frac{80}{2} = 40\)

\( x_2 = \frac{-20 - 100}{2}=\frac{-120}{2} = -60\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость первого автомобиля равна 40 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость первого автомобиля \(x\). Так как второй автомобиль ехал сначала с этой же скоростью, потом остановился и ускорился, составили дробное рациональное уравнение по времени:

\( \frac{120}{x} = 0,75 + 0,25 + \frac{120 - 0,75x}{x+5}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(40\) и \(-60\). Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, скорость первого автомобиля равна 40 км/ч.