Упражнение 851 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^2 > 2a - 3\)

\( a^2 - (2a - 3) = a^2 - 2a + 3= \)

\(=(a^2 -2a + 1)+2 = \)

\(=(a-1)^2 + 2 > 0\) - верно при любом \(a\).

б) \(a^2 + 6 > 4a\)

\( a^2 + 6 - 4a = a^2 - 4a + 6=\)

\(=(a^2 -4a + 4) + 2=\)

\( =(a-2)^2 + 2 > 0\) - верно при любом \(a\).

в) \(4a - 4 < a^2\)

\( 4a - 4 - a^2 = -(a^2 - 4a + 4)=\)

\(=-(a-2)^2 < 0\) - верно для всех \(a\), кроме \(a=2\), так как \((2-2)^2=0\).

г) \(8a - 70 < a^2\)

\(8a - 70 - a^2=\)

\(=-a^2 + 8a -16 - 54 =\)

\(=-(a^2 -8a +16) - 54 =\)

\(=-(a-4)^2 - 54 < 0\) - верно при любом \(a\).

Ответ: неравенство в) \(4a - 4 < a^2\) не является верным при любом значении \(a\).

Пояснения:

При выполнении задания опирались на то, что:

если \(a - b > 0\), то \(a > b\);

если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

При выполнении преобразований выделяли квадрат двучлена:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

а) \(\dfrac{7 - 2y}{6} > \dfrac{3y - 7}{12}\)   \(/\times 12\)

\(2(7 - 2y) > 3y - 7 \)

\(14 - 4y > 3y - 7 \)

\(-4y - 3y > -7 - 14\)

\(-7y > -21\)   \(/ : (-7)\)

\(y < 3\).

Ответ: при \(y \in (-\infty; 3)\).

б) \(\dfrac{4,5 - 2y}{5} < \dfrac{2 - 3y}{10}\)   \(/\times 10\)

\(2(4,5 - 2y) < 2 - 3y \)

\(9 - 4y < 2 - 3y \)

\(-4y + 3y < 2 - 9\)

\(-y < -7\)    \(/\times (-1)\)

\(y > 7\).

Ответ: при \(y \in (7; +\infty)\).

в) \(5y - 1 > \dfrac{3y - 1}{4}\)   \(/\times 4\)

\(4(5y - 1) > 3y - 1\)

\(20y - 4 > 3y - 1\)

\(20y - 3y > -1 + 4\)

\(17y > 3 \)    \(/ : 17\)

\(y > \dfrac{3}{17}\).

Ответ: при \(y \in (\dfrac{3}{17}; +\infty)\).

г) \(\dfrac{5 - 2y}{12} < 1 - 6y\)    \(/\times 12\)

\(5 - 2y < 12(1-6y)\)

\(5 - 2y < 12 - 72y \)

\(-2y + 72y < 12 - 5\)

\(70y < 7\)   \(/ : 70\)

\(y < \frac{7}{70}\)

\(y < \frac{1}{10}\)

\(y < 0,1\).

Ответ: при \(y \in (-\infty; 0,1)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, или на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.