Упражнение 848 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(a > 0\), тогда \(\frac1a\) - обратное число.

\( a + \frac{1}{a} \geq 2\)

\( a ^{\color{blue}{\backslash a}} + \frac{1}{a} - 2 ^{\color{blue}{\backslash a}} =\frac{a^2 + 1 - 2a}{a} =\)

\(=\frac{a^2-2a + 1}{a} =\frac{(a-1)^2}{a}\)

\(a > 0\), \((a-1)^2 \geq 0\) при любом \(a\), значит, \( \frac{(a-1)^2}{a} \geq 0\), тогда неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2\) верно для любого \(a > 0\).

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей неравенства

\( a + \frac{1}{a} \geq 2\), получили:

\(\frac{(a-1)^2}{a}\).

По условию \(a > 0\), \((a-1)^2 \geq 0\) при любом \(a\), значит, \( \frac{(a-1)^2}{a} \geq 0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то

\(a \geq b\), тогда неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2\) верно для любого положительного \(a\).

а) \(4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43\)

\(4b - \cancel{12b^2} - b + \cancel{12b^2} < 43 \)

\(3b < 43\)   \(/ : 3\)

\(b < \frac{43}{3}\)

\(b < 14\frac{1}{3}\).

Ответ: \((-\infty; 14\frac{1}{3})\).

б) \(3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \geq -2\)

\(\cancel{3y^2} - 2y - \cancel{3y^2} + 18y \geq -2 \)

\(16y \geq -2 \)     \(/ : 16\)

\(y \geq -\frac{2}{16}\)

\(y \geq -\frac{1}{8}\).

Ответ: \([ -\frac{1}{8}; +\infty)\).

в) \(2p(5p + 2) - p(10p + 3) \leq 14\)

\(\cancel{10p^2} + 4p - \cancel{10p^2} - 3p \leq 14 \)

\(p \leq 14\)

Ответ: \((-\infty; 14]\).

г) \(a(a - 1) - (a^2 + a) < 34\).

\(\cancel{a^2} - a - \cancel{a^2} - a < 34\)

\(-2a < 34 \)   \(/ : (-2)\)

\(a > -17\).

Ответ: \((-17; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, используя правило умножения одночлена на многочлен, учитывая знаки перед скобками, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.