Упражнение 845 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a(a+b) \geq ab\)

\( a(a+b) - ab =\)

\(=a^2 + \cancel{ab} - \cancel{ab} = a^2 \geq 0 \) - верно при любом \(a\).

б) \(m^2 - mn + n^2 \geq mn\)

\( m^2 - mn + n^2 - mn =\)

\(=m^2 - 2mn + n^2 =\)

\(=(m-n)^2 \geq 0\) - верно при любых \(m\) и \(n\).

в) \(10a^2 - 5a + 1 \geq a^2 + a\)

\( (10a^2 - 5a + 1) - (a^2 + a) = \)

\(=9a^2 - 6a + 1 =\)

\(=(3a-1)^2 \geq 0\) - верно при любом \(a\).

г) \(2bc \leq b^2 + c^2\)

\(2bc - (b^2 + c^2)=\)

\(=2bc - b^2 - c^2=\)

\(=-(b^2 - 2bc +c^2\)=\)

\(=-(b-c)^2 \leq 0\) - верно при любых \(b\) и \(c\).

д) \(a(a-b) \geq b(a-b)\)

\( a(a-b) - b(a-b) =\)

\(=a^2 - ab - ab +b^2 =\)

\(=a^2 -2ab + b^2 = \)

\(=(a-b)^2 \geq 0\) - верно при любых \(a\) и \(b\).

е) \(a^2 - a \leq 50a^2 - 15a + 1\)

\((a^2 - a) - (50a^2 - 15a + 1)=\)

\(=a^2 - a - 50a^2 + 15a - 1=\)

\(=-49a^2 + 14a - 1 =\)

\(=-(49a^2 - 14a + 1) =\)

\(=-(7a-1)^2 \leq 0\) - верно при любом \(a\).

Пояснения:

1. Для каждого неравенства мы вычислили разность (левая часть – правая часть).

2. Во всех случаях эта разность свелась к квадрату выражения: \(a^2\), \((m-n)^2\), \((3a-1)^2\), \((a-b)^2\) или к выражению противоположному квадрату выражения \(-(b-c)^2\), \(-(7a-1)^2\)

3. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому каждое неравенство выполняется при любых значениях переменных.

\(a^2 \geq 0\), при этом \(-a^2 \leq 0\).

а) \(4(2 - 3x) - (5 - x) > 11 - x\)

\(8 - 12x - 5 + x > 11 - x \)

\(3 - 11x > 11 - x \)

\(- 11x + x > 11 - 3 \)

\(-10x > 8 \)   \(/ : (-10)\)

\(x < \frac{8}{10}\)

\(x < -0,8\).

Ответ: \((-\infty; 0,8)\).

б) \(2(3 - z) - 3(2 + z) \leq z\)

\(\cancel6 - 2z - \cancel6 - 3z \leq z\)

\(6 - 2z - 6 - 3z \leq z\)

\(-5z \leq z \)

\(-5z - z \leq 0 \)

\(-6z \leq 0 \)    \)/ : (-6)\)

\(z \geq 0\).

Ответ: \([0; +\infty)\).

в) \(1 > 1,5(4 - 2a) + 0,5(2 - 6a)\)

\(1 > 6 - 3a + 1 - 3a \)

\(1 > 7 - 6a \)

\(6a > 7 - 1\)

\(6a > 6\)   \(/ : 6\)

\(a > 1\).

Ответ: \((1; +\infty)\).

г) \(2,5(2 - y) - 1,5(y - 4) \leq 3 - y\)

\(5 - 2,5y - 1,5y + 6 \leq 3 - y \)

\(11 - 4y \leq 3 - y \)

\(- 4y + y \leq 3 - 11 \)

\(-3y \leq -8 \)    \(/ : (-3)\)

\(y \geq \frac{8}{3}\)

\(y \geq 2\frac{2}{3}\)

Ответ: \([2\frac{2}{3}; +\infty)\).

д) \(x - 2 \geq 4,7(x - 2) - 2,7(x - 1)\)

\(x - 2 \geq 4,7x - 9,4 - 2,7x + 2,7 \)

\(x - 2 \geq 2x - 6,7 \)

\(x - 2x \geq - 6,7 + 2 \)

\(-x \geq -4,7\)     \(/\times (-1)\)

\(x \leq 4,7\)

Ответ: \((-\infty; 4,7]\).

е) \(3,2(a - 6) - 1,2a \leq 3(a - 8)\)

\(3,2a - 19,2 - 1,2a \leq 3a - 24 \)

\(2a - 19,2 \leq 3a - 24 \)

\(2a - 3a \leq - 24 + 19,2 \)

\(-a \leq -4,8\)      \(/\times (-1)\)

\(a \geq 4,8\)

Ответ: \(4,8; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.