Упражнение 850 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^2 - 6a + 14 > 0\)

\( a^2 - 6a + 14 =\)

\(=(a^2 - 6a + 9) + 5 =\)

\(=(a-3)^2 + 5\).

\((a-3)^2 \geq 0\), то

\((a-3)^2 + 5 > 0\) при любом \(a\).

б) \(b^2 + 70 > 16b\)

\(b^2 + 70 - 16b=\)

\(= (b^2 - 16b + 64) + 6 =\)

\(=(b-8)^2 + 6\).

 \((b-8)^2 \geq 0\), то

\((b-8)^2 + 6 > 0\) при любом \(b\).

Пояснения:

При выделении квадрата двучлена опирались на формулу квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Чтобы доказать неравенство, в пункте а) выделили квадрат двучлена в левой части неравенства и установили верность неравенства.

Чтобы доказать неравенство, в пункте б) использовали то, что если \(a - b > 0\), то \(a > b\), то есть нашли разность левой и правой части неравенства, выделив при этом квадрат двучлена и установили верность неравенства.

а) \(\dfrac{9x}{5} \geq 0 \)   \(/\times 5\)

\(9x \geq 0 \)      \(/ : 9\)

\(x \geq 0\).

Ответ: \([0; +\infty)\).

б) \(1 < \dfrac{3x}{4} \)   \(/\times 4\)

\(4 < 3x \)    \(/ : 3\)

\(\dfrac{4}{3} < x\)

\(x > \dfrac{4}{3}\)

\(x > 1\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \((1\dfrac{1}{3}; +\infty)\).

в) \(\dfrac{5 + 6x}{2} > 3\)   \(/\times 2\)

\(5 + 6x > 6 \)

\( 6x > 6 - 5\)

\(6x > 1 \)   \(/ : 6\)

\(x > \dfrac{1}{6}\).

Ответ: \((\dfrac{1}{6}; +\infty)\).

г) \(\dfrac{4x - 11}{4} \leq 0\)   \(/\times 4\)

\(4x - 11 \leq 0\)

\(4x \leq 11 \)

\(x \leq \dfrac{11}{4}\)   \(/ : 4\)

\(x \leq 2\dfrac{3}{4}\).

Ответ: \((-\infty; 2\dfrac{3}{4}]\).

д) \(\dfrac{1}{7}x \geq 2 \)   \(/\times 7\)

\(x \geq 14\).

Ответ: \([14; +\infty)\).

е) \(\dfrac{2}{11}(x - 4) < 3\)   \(/\times 11\)

\(2(x - 4) < 33 \)

\(2x - 8 < 33\)

\(2x < 33 + 8\)

\(2x < 41 \)   \(/ :2\)

\(x < \frac{41}{2} \)

\(x < 20,5\).

Ответ: \((-\infty; 20,5)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.