Упражнение 854 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a > 0\),  \(b > 0\), \(a\neq b\).

\((a^3 + b^3)-ab(a+b)=\)

\(= a^3 + b^3 - a^2b-ab^2=\)

\(= (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3)=\)

\(=a^2(a-b) - b^2(a-b)=\)

\(=(a-b)(a^2 - b^2) =\)

\(=(a-b)(a-b)(a+b)=\)

\(=(a-b)^2(a+b)>0\), так как при \(a > 0\),  \(b > 0\) и \(a\neq b\):

\((a-b)^2 >0\),  \(a + b > 0\), значит,

\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).

Пояснения:

Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Чтобы определить, какое выражение больше, находим разность выражений и определяем знак этой разности разности.

Мы из выражения \(a^3 + b^3\) вычли выражение \(ab(a+b)\) и получили:

\((a-b)^2(a+b)\).

По условию \(a > 0\), \(b > 0\), \(a\neq b\), поэтому

\((a-b)^2 >0\), \(a + b > 0\).

Если оба множителя положительны, то произведение положительно. Значит:

\((a-b)^2(a+b)>0\), поэтому

\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).

а) \(\dfrac{3 + x}{4} + \dfrac{2 - x}{3} < 0\)   \(/\times 12\)

\(3(3 + x) + 4(2 - x) < 0 \)

\(9 + 3x + 8 -4x < 0\)

\(-x + 17 < 0\)

\(-x < -17\)   \(/ : (-1)\)

\(x > 17\).

Ответ: \((17; +\infty)\).

б) \(\dfrac{4 - y}{5} - 5y \geq 0\)   \(/\times 5\)

\(4 - y - 25y \geq 0\)

\(4 - 26y \geq 0\)

\(-26y \geq -4\)   \(/ : (-26)\)

\(y \leq \dfrac{4}{26}\)

\(y \leq \dfrac{2}{13}\).

Ответ: \([\dfrac{2}{13}; +\infty)\).

в) \(y - \dfrac{2y - 1}{4} \geq 1\)   \(/\times 4\)

\(4y - (2y - 1) \geq 4\)

\(4y - 2y + 1 \geq 4\)

\(2y \geq 4-1\)

\(2y \geq 3\)    \(/ : 2\)

\(y\geq\frac32\)

\(y \geq 1,5\)

Ответ: \([1,5; +\infty)\).

г) \(x - \dfrac{x - 3}{5} + \dfrac{2x - 1}{10} \leq 4\)   \(/\times 10\)

\(10x - 2(x-3) + (2x - 1) \leq 40\)

\(10x - \cancel{2x} +6 + \cancel{2x} - 1 \leq 40\)

\(10x \leq 40 + 1 - 6 \)

\(10x \leq 35\)   \(/ : 10\)

\(x \leq \frac{35}{10}\)

\(x \leq 3,5\)

Ответ: \([3,5; +\infty)\).

д) \(\dfrac{y - 1}{2} - 1 + \dfrac{2y - 1}{6} > y\)   \(/\times 6\)

\(3(y - 1) - 6 + (2y - 1) > 6y\)

\(3y - 3 - 6 + 2y - 1 - 6y > 0\)

\(-y -10 > 0\)

\(-y > 10\)   \(/ : (-1)\)

\(y < -10\)

Ответ: \((-\infty; -10)\).

е) \(p - \dfrac{p - 1}{2} - \dfrac{p + 3}{4} > 2\)   \(/\times 4\)

\(4p-2(p-1)-(p+3) > 8\)

\(4p - 2p +2-p-3 > 8\)

\(p -1 > 8\)

\(p > 8 + 1\)

\( p > 9\).

Ответ: \((9; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.