Упражнение 847 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{a+2}{a} - 2 \;\geq\; 2 - \frac{a+2}{2}\)

\( \left(\frac{a+2}{a} - 2\right) - \left(2 - \frac{a+2}{2}\right)=\)

\(= \frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} =\)

\(=\frac{a+2}{a} ^{\color{blue}{\backslash2}} + \frac{a+2}{2} ^{\color{blue}{\backslash a}} - 4 ^{\color{blue}{\backslash 2a}} = \)

\(= \frac{2(a+2) + a(a+2)-8a}{2a} =\)

\(= \frac{2a+4 + a^2+2a - 8a}{2a} =\)

\(=\frac{a^2 - 4a + 4}{2a}= \frac{(a-2)^2}{2a}. \)

Вывод:

Так как \(a > 0\), то знаменатель \(2a > 0\), а числитель \((a-2)^2 \geq 0\), поэтому \(\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0\) при любом \(a > 0\).

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей данного неравенства:

\(\frac{(a-2)^2}{2a}. \)

По условию \(a > 0\), значит, знаменатель \(2a > 0\), а числитель \((a-2)^2 \geq 0\), поэтому дробь \(\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0\) при любом \(a > 0\). Что и требовалось доказать.

а) \(0,2x^2 - 0,2(x - 6)(x + 6) > 3,6x\)

\(0,2x^2 - 0,2(x^2 - 36) > 3,6x \)

\(\cancel{0,2x^2} - \cancel{0,2x^2} + 7,2 > 3,6x\)

\(7,2 > 3,6x \)

\(3,6x < 7,2\)   \( : 3,6\)

\(x < 2\)

Ответ: \((-\infty; 2)\).

б) \((2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15\)

\(4x^2 - 20x + 25 - 0,5x < 4x^2 - 1 - 15 \)

\(4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16 \)

\(\cancel{4x^2} - 20,5x -\cancel{4x^2} < - 16 - 25 \)

\(-20,5x < -41 \)    \(/ : (-20,5)\)

\(x > 2\).

Ответ: \((2; +\infty)\).

в) \((12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2\)

\(36x^2 + 9x - 12x + -1 < 1 + 36x^2 + 24x + 4\)

\(36x^2 - 9x - 1 < 36x^2 + 24x + 5 \)

\(\cancel{36x^2} - 9x - \cancel{36x^2} - 24x < 5 + 1 \)

\(-33x < 6 \)    \(/ : (-33)\)

\(x > -\frac{6}{33}\)

\(x > -\frac{2}{11}\).

Ответ: \((-\frac{2}{11}; +\infty)\).

г) \((4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)\)

\(16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 - 2y + 24y - 3 \)

\(16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 + 22y - 3 \)

\(\cancel{16y^2} - 8y - \cancel{16y^2} - 22y > - 3 - 1 \)

\( -30y > -4 \)    \(/ : (-30)\)

\(y < \frac{4}{30}\)

\(y < \frac{2}{15}\).

Ответ: \((-\infty; \frac{2}{15})\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

При раскрытии скобок используем следующие приемы и формулы:

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- умножение многочлена на многочлена:

\((a + b)(c-d) = ac - ad + bc - bd\);

- свойство степени:

\(a^2b^2 = (ab)^2\).

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.