Упражнение 911 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 205

а) \([-2; 4]\) — числовой отрезок.

б) \((-3; 3)\) — интервал.

в) \([0; 5]\) — числовой отрезок.

г) \((-4; 0)\) — интервал.

д) \((3; +\infty)\) — открытый числовой луч.

е) \([2; +\infty)\) — числовой луч.

ж) \((-\infty; 4]\) — числовой луч.

з) \((-\infty; -1)\) —открытый числовой луч.

и) \((-\infty; +\infty)\) — вся числовая прямая.

\(\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

\(a>0,\; b>0,\; c>0\).

\( \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c} +\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}\),

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c}\),

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a}\)

Следовательно,

\(\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

при \(a>0,\; b>0,\; c>0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве помним, чем меньше слагаемые в сумме, тем меньше будет сумма, и то, что из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та дробь, у которой знаменатель больше.