Упражнение 913 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \([-2; 6]\) - числовой отрезок.

б) \([-1; +\infty)\) - числовой луч.

в) \((-1; 7)\) - интервал.

г) \((-\infty; 4]\) - числовой луч.

\(a > 1\)

\( \frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \)

\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} =\frac{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}} \)

\(=\frac{(\sqrt{a+1})^2-(\sqrt{a-1})^2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)

\(=\frac{a+1-(a-1)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)

\(=\frac{\cancel a+1-\cancel a+1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)

\(=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)

\( \frac{1}{\sqrt a}<\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)  \(/ \times \sqrt a(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})\)

\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < 2\sqrt a\)

\((\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^2 < (2\sqrt a)^2\)

\((\sqrt{a+1})^2+2\sqrt{(a+1)(a-1)}+(\sqrt{a-1})^2 < 4a\)

\(a+1+2\sqrt{a^2-1}+a-1 < 4a\)

\( 2a+2\sqrt{a^2-1}<4a \)

\( 2\sqrt{a^2-1}<4a - 2a \)

\( 2\sqrt{a^2-1}<2a \)  \(/ : 2\)

\( \sqrt{a^2-1} < a\)

\(a^2 -1 < a^2\) верно при любом \(a > 1\)

Пояснения:

При доказательстве сначала преобразовали правую часть неравенства, учитывая то, что значение выражения не изменится, если его умножить на одно и то же число. Тем самым в числителе полученной дроби имеем квадрат разности двух выражений. Учитывая то, что по свойству квадратного корня \((\sqrt a ) ^2 = a\), выражение из правой части неравенства принимает вид:

\(\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\).

Тогда получаем равносильное неравенство:

\( \frac{1}{\sqrt a}<\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\).

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Домножив обе части неравенства на

\(\sqrt a(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\), имеем:

\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < 2\sqrt a\).

Далее используем то, что если левая и правая части верного неравенства положительные числа, то при возведении их в квадрат получится верное неравенство. Тогда после возведения в квадрат и выполнения преобразований имеем:

\( \sqrt{a^2-1} < a\).

Снова обе части неравенства возводим в квадрат, получаем неравенство,

\(a^2 -1 < a^2\),

которое верно при любых значениях \(a>1\), что доказывает исходное неравенство.