Упражнение 917 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 206

а) \([-1,5; 6,5]\) принадлежат:

\(-1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5\).

б) \((3; +\infty)\) принадлежат:

\(5,1; 6,5\).

в) \((-\infty; -1]\) принадлежат:

\(-1,6; -1,5; -1\).

Пояснения:

Промежуток \([a; b]\) включает все числа от \(a\) до \(b\), включая границы.

Промежуток \((a; +\infty)\) включает все числа больше \(a\), но не само \(a\).

Промежуток \((-\infty; b]\) включает все числа меньше или равные \(b\).

а) \(\sqrt7+2\sqrt5<2+\sqrt{35}\)

\((\sqrt7+2\sqrt5)^2 < (2+\sqrt{35})^2\)

\((\sqrt7)^2 + 2\cdot\sqrt{7} \cdot 2\sqrt5 + (2\sqrt5)^2 < 2^2 + 2\cdot2\cdot\sqrt{35} + (\sqrt{35})^2 \)

\(7 + 4\sqrt35+20 < 4 +  4\sqrt{35} + 35\)

\(27 + 4\sqrt{35} < 39 + 4\sqrt{35}\) - верно, так как \(27 < 39\)

б) \(4\sqrt6+2>2\sqrt3+4\sqrt2\)

\((4\sqrt6+2)^2>(2\sqrt3+4\sqrt2)^2\)

\((4\sqrt6)^2 + 2\cdot4\sqrt6 \cdot 2 + 2^2>(2\sqrt3)^2 + 2\cdot 2\sqrt3 \cdot 4\sqrt2+(4\sqrt2)^2\)

\(96 + 16\sqrt6 + 4 > 12 + 16\sqrt6 + 32\)

\(100 + 16\sqrt16 > 44 + 16\sqrt6\) - верно, так как \(100 > 44\)

Пояснения:

Используем то, что если левая и правая части верного неравенства положительные числа, то при возведении их в квадрат получится верное неравенство.

Использованные приемы:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- свойства квадратного арифметического корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\);

- свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).