Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№921 учебника 2023-2025 (стр. 206):
Какие целые числа принадлежат промежутку:
а) \([0; 8]\);
б) \((-3; 3)\);
в) \((-5; 2)\);
г) \((-4; 9]\)?
№921 учебника 2013-2022 (стр. 207):
(Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
2) Введите обозначения:
\(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде; \(y\) км/ч и \(z\) км/ч — скорости течения первой и второй рек; \(s\) км — расстояние, на которое отплывала лодка.
3) Запишите формулы для вычисления времени \(t_1\) ч и \(t_2\) ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
4) Найдите разность \(t_1 - t_2\), и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
5) Подтвердилось ли ваше предположение?
№921 учебника 2023-2025 (стр. 206):
Вспомните:
№921 учебника 2013-2022 (стр. 207):
Вспомните:
№921 учебника 2023-2025 (стр. 206):
а) \([0; 8]\)
Целые числа:
\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\).
б) \((-3; 3)\)
Целые числа:
\(-2, -1, 0, 1, 2\).
в) \((-5; 2)\)
Целые числа:
\(-4, -3, -2, -1, 0, 1\).
г) \((-4; 9]\)
Целые числа:
\(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\).
Пояснения:
Интервал \((a; b)\) включает все числа строго между \(a\) и \(b\), без самих концов.
Отрезок \([a; b]\) включает числа между \(a\) и \(b\) вместе с границами.
Полуинтервалы \((a; b]\) или \([a; b)\) включают только одну из границ.
№921 учебника 2013-2022 (стр. 207):
1) Предположение: чем быстрее течение, тем больше различие скоростей при движении по и против течения. Можно ожидать, что на более быстрой реке общее время будет больше.
2) Скорость лодки в стоячей воде:
\(x\) км/ч;
скорость течения первой реки:
\(y\) км/ч;
скорость течения второй реки:
\(z\) км/ч (\(z > y\));
расстояние в одну сторону: \(s\) км.
3) \( t_1 = \frac{s}{x+y} ^{\color{blue}{\backslash x-y}} + \frac{s}{x-y} ^{\color{blue}{\backslash x+y}} = \)
\(= \frac{s(x-y)+s(x+y)}{(x-y)(x+y)} =\)
\(= \frac{sx-\cancel{sy}+sx+\cancel{sy}}{x^2-y^2} =\)
\(= \frac{s\cdot2x}{x^2-y^2} = \frac{2sx}{x^2-y^2}\).
\( t_2 = \frac{s}{x+z} ^{\color{blue}{\backslash x-z}} + \frac{s}{x-z} ^{\color{blue}{\backslash x+z}} = \)
\(= \frac{s(x-z)+s(x+z)}{(x-z)(x+z)} =\)
\(= \frac{sx-\cancel{sz}+sx+\cancel{sz}}{x^2-z^2} =\)
\(= \frac{s\cdot2x}{x^2-z^2} = \frac{2sx}{x^2-z^2}\).
4) \( t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2-y^2} - \frac{2sx}{x^2-z^2}. \)
\(z>y\), тогда \(x^2-z^2 < x^2-y^2\).
\(\frac{2sx}{x^2-z^2} > \frac{2sx}{x^2-y^2}\),
\(t_2 > t_1\).
5) Вывод: лодка потратила больше времени во второй день — на более быстрой реке. Предположение подтвердилось.
Пояснения:
При движении по течению скорость лодки увеличивается до \(x+v\), а против течения уменьшается до \(x-v\). Общее время туда и обратно всегда выражается как сумма: \[ t = \frac{s}{x+v} + \frac{s}{x-v}. \]
При увеличении скорости течения знаменатель уменьшается, что увеличивает всю дробь. Поэтому чем быстрее течение, тем больше итоговое время.
Вернуться к содержанию учебника