Упражнение 924 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((1; 8)\) и \((5; 10)\)

\((1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8)\).

б) \([-4; 4]\) и \([-6; 6]\)

\([-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]\).

в) \((5; +\infty)\) и \((7; +\infty)\)

\((5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty)\).

г) \((-\infty; 10)\) и \((-\infty; 6)\)

\((-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6)\).

Пояснения:

Пересечение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку одновременно.

Пусть \(a\) и \(b\) стороны прямоугольника (\(a \neq b\)), тогда его периметр равен \(2(a + b) \), а площадь \(ab\).

Пусть \(c\) сторона квадрата, тогда его периметр равен \(4c\), а площадь \(c^2\).

Периметры прямоугольника и квадрата равны:

\(4c =2(a+b) \)  \(/ : 4\)

\(c = \frac{a+b}{2}\)

\(c^2 = (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(a+b)^2}{4}=\)

\(= \frac{a^2 + 2ab+b^2}{4}\)

Сравним площади:

\(ab \; {\color{red}{?}} \; \frac{a^2 + 2ab+b^2}{4}\)

\(ab ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{a^2 + 2ab+b^2}{4}=\)

\(= \frac{4ab - (a^2 + 2ab+b^2)}{4}=\)

\(= \frac{4ab - a^2 - 2ab-b^2}{4}=\)

\(= \frac{ -a^2 + 2ab-b^2}{4}=\)

\(= \frac{ -(a^2 - 2ab+b^2)}{4}=\)

\(= -\frac{ (a -b)^2}{4} < 0\), так как \(a \neq b\).

Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника.

Пояснения:

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины, а площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Периметр квадрата равен длине его стороны, умноженной на 4, а площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Обозначив стороны прямоугольника и квадрата, составляем выражения для их периметров и площадей. Учитывая то, что периметры прямоугольника и квадрата равны, выражаем сторону квадрата через стороны прямоугольника, а затем выражаем площадь квадрата через стороны прямоугольника.

Далее сравниваем площади прямоугольника и квадрата:

\(ab \; {\color{red}{?}} \; \frac{a^2 + 2ab+b^2}{4}\).

Чтобы сравнить площади, вычитаем из площади прямоугольника площадь квадрата., в результате получили выражение \( -\frac{ (a -b)^2}{4}\), которое при \(a \neq b\) меньше нуля. Следовательно, площадь квадрата больше площади прямоугольника.