Упражнение 1153 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{x} + x^2 = 18.\)

ОДЗ: \(x \ge 0\).

\(y=\sqrt{x}\) и \(y = x^2\) - возрастающие функции при \(x \ge 0\), значит,

\(y =\sqrt{x} + x^2\) - возрастающая функция при \(x \ge 0\), поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень: \(x = 4\).

\(\sqrt{4} + 4^2 = 18\)

\(2 + 16 = 18\) - верно.

Ответ: \(x = 4.\)

б) \(x^3 + 5x = 6\)

\(y=x^3\) и \(y = 5x\) - возрастающие функции, значит, \(y =x^3 + 5x\) - возрастающая функция, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень: \(x = 1\).

\(1^3 + 5\cdot1 = 6\)

\(1 + 5 = 6\)

\(6 = 6\)

Ответ: \(x = 1.\)

Пояснения:

При решении уравнений учитываем то, что:

1. сумма возрастающих функций - возрастающая функция;
2. если \( y = f(x) \) — возрастающая функция и \( a \) — некоторое число, то уравнение \( f(x) = a \) имеет не более одного корня, который находим подбором.

В пункте а) учитываем то, что корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

\( \sqrt{\frac{a^{2}+6ab+25b^{2}}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}=\sqrt a+\sqrt b\)

Доказательство:

\( \sqrt{\frac{a^{2}+6ab+25b^{2} + 4ab - 4ab}{\,a-2\sqrt{ab}+5b\,}-4b\;}=\sqrt a+\sqrt b\)

\( \sqrt{\frac{(a^{2}+10ab+25b^{2}) - 4ab}{\,a-2\sqrt{ab}+5b\,}-4b\;}=\sqrt a+\sqrt b\)

\( \sqrt{\frac{(a+5b)^{2} - (2\sqrt{ab})^2}{\,a-2\sqrt{ab}+5b\,}-4b\;}=\sqrt a+\sqrt b\)

\( \sqrt{\frac{\cancel{(a+5b - 2\sqrt{ab})}(a+5b + 2\sqrt{ab})}{\cancel{a-2\sqrt{ab}+5b}}-4b}=\sqrt a+\sqrt b\)

\(a+5b + 2\sqrt{ab} -4b=\sqrt a+\sqrt b\)

\(a+ 2\sqrt{ab} + b=\sqrt a+\sqrt b\)

\(\sqrt{(\sqrt a)^2 + 2\sqrt{ab} + (\sqrt b)^2}=\sqrt a+\sqrt b\)

\(\sqrt{(\sqrt a+\sqrt b)^2}=\sqrt a+\sqrt b\)

\(|\sqrt a+\sqrt b| = \sqrt a+\sqrt b\)

\(\sqrt a \ge 0\),  \(\sqrt b \ge 0\),  \(\sqrt a+\sqrt b \ge0\)

\(\sqrt a+\sqrt b = \sqrt a+\sqrt b\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При выполнении доказательства преобразовали левую часть.

Сначала в числителе выдели квадрат двучлена \((a+5b)^{2}\), учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение.

Затем выражение, полученное в числителе разложили на два множителя по формуле разности квадратов двух выражений:

\((a+5b - 2\sqrt{ab})(a+5b + 2\sqrt{ab})\).

Сократили одинаковый множитель \(a+5b - 2\sqrt{ab}\) в числителе и знаменателе дроби.

Упростили выражение полученное под знаком корня:

\(a+5b + 2\sqrt{ab} -4b = a+ 2\sqrt{ab} + b\).

Учитывая то, что \((\sqrt a)^2 = a\), полученное выражение преобразуем в квадрат суммы двух выражений:

\((\sqrt a)^2 + 2\sqrt{ab} + (\sqrt b)^2 =(\sqrt a+\sqrt b)^2 \).

По свойству арифметического квадратного корня:

\(\sqrt {a^2} = |a|\).

Значит, \(\sqrt{(\sqrt a+\sqrt b)^2}=|\sqrt a+\sqrt b|\).

Согласно определению модуля:

\(|x| = x\), если \(x \ge 0\).

По определению арифметического квадратного корня:

\(\sqrt a \ge 0\),  \(\sqrt b \ge 0\), значит,

\(\sqrt a+\sqrt b \ge0\), следовательно,

\(|\sqrt a+\sqrt b| = \sqrt a+\sqrt b\).

Таким образом, в левой части тождества получили такое же выражение, что и в правой части. Тождество доказано.