Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№788 учебника 2023-2025 (стр. 178):
Пусть \(a\) и \(b\) — корни трёхчлена \[x^2 + px + q,\] причём \(ab = 4\) и \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\). Чему равно \(a\) и чему равно \(b\)?
№788 учебника 2013-2022 (стр. 177):
На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре \(16 \pm 3^\circ\text{C}\). Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная:
а) \(18^\circ\text{C}\);
б) \(21^\circ\text{C}\);
в) \(14{,}5^\circ\text{C}\);
г) \(12{,}5^\circ\text{C}\)?
№788 учебника 2023-2025 (стр. 178):
Вспомните:
№788 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№788 учебника 2023-2025 (стр. 178):
\[x^2 + px + q\]
\(x_1 = a\), \(x_2 = b\),
\(ab = 4\), \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \)
По теореме Виета:
\(ab = q = 4\), \(a+b = -p\).
1) \(a+b = -p\)
\((\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2 = -p\)
\((\sqrt a)^2+2\sqrt{ab}+(\sqrt b)^2 - 2\sqrt{ab}= -p\)
\((\sqrt a+\sqrt b)^2 - 2\sqrt{ab}= -p\)
\(3^2 -2\cdot\sqrt4 = -p\)
\(9 - 2\cdot2 = -p\)
\(9 - 4 = -p\)
\(-p = 5\)
2) По теореме Виета:
\(ab = 4\), \(a+b = 5\).
\(a = 4\), \(b = 1\) или \(a = 1\), \(b = 4\)
Ответ: \(a = 4\), \(b = 1\) или
\(a = 1\), \(b = 4\).
Пояснения:
По теореме Виета для квадратного трехчлена \(x^2 + bx + c = 0\) имеем:
\(x_1 + x_2 = -b\), \(x_1\cdot x_2 = c\).
Учитывая то, что \(a\) и \(b\) корни уравнения \(x^2 + px + q\), то по теореме Виета:
\(ab = q\), \(a+b = -p\).
Выражение \(a+b = -p\) преобразовали в выражение
\((\sqrt a+\sqrt b)^2 - 2\sqrt{ab}= -p\) и, учитывая то, что по условию \(ab = 4\), \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \), получили: \(-p = 5\). Тогда по теореме Виета для квадратного трехчлена \(x^2 + px + q\) имеем:
\(ab = 4\), \(a+b = 5\).
Откуда, подбором находим:
\(a = 4\), \(b = 1\) или \(a = 1\), \(b = 4\)
№788 учебника 2013-2022 (стр. 177):
\(t=16 \pm 3^\circ\text{C}\)
\(16 - 3^\circ \le t \le 16 + 3^\circ\)
\(13^\circ \le t \le 19^\circ\).
а) \(18^\circ\) — удовлетворяет.
б) \(21^\circ\) — не удовлетворяет.
в) \(14{,}5^\circ\) — удовлетворяет.
г) \(12{,}5^\circ\) — не удовлетворяет.
Пояснения:
Запись вида \(y =a \pm h\) означает, что число \(y\) известно приближённо с абсолютной погрешностью \(h\). Это значит, что истинное значение лежит в интервале:
\[ a-h\le y \le a+h. \]
Запись \(16 \pm 3^\circ\text{C}\) означает, что температура хранения должна находиться в пределах:
\[ 16 - 3 \le t \le 16 + 3, \] то есть: \[ 13^\circ \le t \le 19^\circ. \]
Проверяем каждое предложенное значение:
а) \(18^\circ\) находится в интервале — условие выполняется.
б) \(21^\circ\) находится выше верхней границы — условие не выполняется.
в) \(14{,}5^\circ\) находится внутри интервала — подходит.
г) \(12{,}5^\circ\) находится ниже нижней границы — не подходит.
Вернуться к содержанию учебника