Вернуться к содержанию учебника
а) Разность корней уравнения \(x^2 - 8x + q = 0\) равна 16. Найдите \(q\).
б) Сумма квадратов корней уравнения \(x^2 - 7x + q = 0\) равна 29. Найдите \(q\).
Вспомните:
а) \(x^2 - 8x + q = 0\):
\(a = 1\), \(b = -8\), \(c = q\)
\(x_1 - x_2 = 16\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1+x_2 = 8\) и \(x_1\cdot x_2 = q\).
Составим систему:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 16,\\ x_1+x_2 = 8 \end{cases} \) \((+)\)
\( \begin{cases} 2x_1 = 24,\\ x_1+x_2 = 8 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = \frac{24}{2},\\ x_2 = 8 - x_1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = 12,\\ x_2 = 8 - 12 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = 12,\\ x_2 = -4 \end{cases} \)
\(q=x_1\cdot x_2 = 12\cdot(-4) = -48\)
Ответ: \(q = -48\).
б) \(x^2 - 7x + q = 0\)
\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = q\)
\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 29\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1+x_2 = 7\) и \(x_1\cdot x_2 = q\).
\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =29 \)
\(x_{1}^{2} + 2x_1x_2+ x_{2}^{2} - 2x_1x_2 =29 \)
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=29\)
\(7^2 - 2q = 29\)
\(49 - 2q = 29\)
\(2q = 49 - 29\)
\(2q = 20\)
\(q = \frac{20}{2}\)
\(q = 10\)
Ответ: \(q = 10\).
Пояснения:
Для уравнения вида \(x^2 + bx + c = 0\) по теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 = -b,\qquad x_1x_2 = c. \]
В пункте а) согласно условию составили систему, решив которую способом сложения, нашли \(x_1\) и \(x_2\), а затем нашли \(q =x_1x_2\).
В пункте б) по условию \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 29\). В рассматриваемом выражении выделили квадрат двучлена, что позволило найти значение \(q\).
Вернуться к содержанию учебника