Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\left(\dfrac{2ab}{a^{2}-b^{2}}+\dfrac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{\,b-a\,};\)
б) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(\dfrac{x}{(x-y)^{2}}-\dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}\right).\)
Вспомните:
а) \(\left(\dfrac{2ab}{a^{2}-b^{2}}\overset{ {\color{red}{1}} }{+}\dfrac{a-b}{2a+2b}\right)\overset{ {\color{red}{2}} }{\cdot}\dfrac{2a}{a+b}\overset{ {\color{red}{3}} }{+}\dfrac{b}{\,b-a\,}=1\)
1) \(\dfrac{2ab}{a^{2}-b^{2}}+\dfrac{a-b}{2a+2b}=\)
\(=\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}^{\color{blue}{\backslash2}} +\dfrac{a-b}{2(a+b)}^{\color{blue}{\backslash a-b}} =\)
\(=\dfrac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\)
\(=\dfrac{4ab + a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} =\)
\(=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} =\)
\(=\dfrac{(\cancel{a+b})^{\cancel2}}{2(a-b)\cancel{(a+b)}} =\)
\(=\dfrac{(a+b)}{2(a-b)};\)
2) \( \dfrac{\cancel{a+b}}{\cancel2(a-b)}\cdot\dfrac{\cancel2a}{\cancel{a+b}}=\dfrac{a}{a-b}; \)
3) \( \dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-a}=\)
\(=\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1. \)
б) \(\dfrac{y}{x-y}\overset{ {\color{red}{3}} }{-}\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\overset{ {\color{red}{2}} }{\cdot}\left(\dfrac{x}{(x-y)^{2}}\overset{ {\color{red}{1}} }{-}\dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}\right)=-1\)
1) \(\dfrac{x}{(x-y)^{2}}-\dfrac{y}{x^2-y^2}=\)
\( =\dfrac{x}{(x-y)^{2}}^ {\color{blue}{\backslash x+y}} -\dfrac{y}{(x-y)(x+y)}^ {\color{blue}{\backslash x-y}} =\)
\( =\dfrac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)
\( =\dfrac{x^2+\cancel{xy}-\cancel{xy}+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)
\( =\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)};\)
2) \(\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)
\(=\dfrac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)
\(= \dfrac{x\cancel{(x-y)}\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^{2}+y^{2}}}\cdot\dfrac{\cancel{x^{2}+y^{2}}}{(x-y)^{\cancel2}\cancel{(x+y)}} =\)
\(=\dfrac{x}{x-y}. \)
3) \( \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y} =\dfrac{y-x}{x-y}=\)
\(=-\dfrac{x-y}{x-y}=-1. \)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Умножение дробей:
\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)
4) Вынесение общего множителя за скобки:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b);\)
\(\displaystyle p\,a-p\,b=p(a-b);\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
7) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
8) Сокращение дробей:
\(\dfrac{ka}{kb} = \dfrac{a}{b}.\)
Вернуться к содержанию учебника