Упражнение 60 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 19

а) \(\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 1, \\ (y+1)y = 240 \end{cases}\)

\((y+1)y = 240\)

\(y^2 + y - 240 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -240\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-240)=\)

\(=1 + 960 = 961 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt{961} = 31\).

\(y_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_1 = \dfrac{-1 + 31}{2\cdot1} = \dfrac{30}{2} = 15.\)

\(y_2 = \dfrac{-1 - 31}{2\cdot1} = \dfrac{-32}{2} = -16.\)

Если \(y = 15\), то

\(x = 15 + 1 = 16.\)

Если \(y = -16\), то

\(x = -16 + 1 = -15.\)

Ответ: \((16, 15)\); \((-15, -16)\).

б) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 65, \\ 2x - y = 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^{2} + (2x-15)^{2} = 65, \\ y = 2x-15 \end{cases}\)

\(x^{2} + (2x-15)^{2} = 65\)

\(x^2 + 4x^2 - 60x + 225 - 65 = 0\)

\(5x^2 - 60x + 160 = 0\)   \(/ : 5\)

\(x^2 - 12x + 32 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 32\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot32=\)

\(=144 - 128 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \dfrac{12 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{16}{2} = 8.\)

\(x_2 = \dfrac{12 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4.\)

Если \(x = 8\), то

\( y =2\cdot8 - 15 = 16 - 15 = 1. \)

Если \(x = 4\), то

\( y =2\cdot4 - 15 = 8 - 15 = -7. \)

Ответ: \((8,\, 1)\); \((4,\, -7)\).

Пояснения:

1. В обоих случаях используется метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение.

2. Полученные квадратные уравнения решаются по формуле корней с вычислением дискриминанта.

3. После нахождения одной переменной возвращаемся в выражение для второй переменной и, подставляя в это выражение первую переменную, находим вторую.