Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение квадратичной функции.
2. Как выглядит график квадратичной функции \(y = ax^2\) и какими свойствами обладает функция: а) при \(a>0\); б) при \(a<0\)?
3. Как из графика функции \(y = ax^2\) можно получить график функции: а) \(y = ax^2 + n\); б) \(y = a(x-m)^2\); в) \(y = a(x-m)^2 + n\)?
4. Что представляет собой график квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\)?
На примере функции \(y = 2x^2 - 12x + 16\) покажите, как строят график квадратичной функции.
Введите текст
1) Определение:
Квадратичная функция — это функция вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \neq 0\).
2)
а) График \(y = ax^2\) при \(a>0\):
— вверх направленная парабола;
— вершина в точке \((0,0)\);
— ось симметрии: \(x=0\).
б) График \(y = ax^2\) при \(a<0\):
— вниз направленная парабола;
— вершина \((0,0)\);
— ось симметрии \(x=0\).
3)
а) \(y = ax^2 + n\): график функции \(y = ax^2\), сдвинутый вверх при \(n>0\) или вниз при \(n<0\).
б) \(y = a(x - m)^2\): график функции \(y = ax^2\), сдвинутый вправо при \(m>0\) и влево при \(m<0\).
в) \(y = a(x - m)^2 + n\): график функции \(y = ax^2\), сдвинутый на \(m\) вправо/влево и на \(n\) вверх/вниз.
4) График функции \(y = ax^2 + bx + c\) — парабола. Её можно получить, приведя выражение к вершине путем выделения полного квадрата.
Пример: \(y = 2x^2 - 12x + 16\).
а) Выделяем квадрат:
\(y = 2(x^2 - 6x) + 16\)
б) Добавляем и вычитаем квадрат half–коэффициента:
\(y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 16\)
в) Преобразуем:
\(y = 2(x - 3)^2 - 18 + 16\)
г) Упрощаем:
\(y = 2(x - 3)^2 - 2\)
Значит, график — парабола с вершиной \((3,-2)\), направленная вверх (так как \(a=2>0\)).
Пояснения:
1. Основные формулы.
— Квадратичная функция: \[y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0.\]
— Выделение полного квадрата: \[ax^2 + bx = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}.\]
— Стандартный вид параболы: \[y = a(x - m)^2 + n.\]
2. Пояснение свойств графиков.
Если \(a>0\), ветви вверх — функция имеет минимум в точке вершины. Если \(a<0\) — ветви вниз и функция имеет максимум.
Сдвиги графиков:
— добавление \(n\) двигает параболу вертикально;
— замена \(x\) на \(x-m\) двигает параболу горизонтально.
3. Пояснение примера.
Чтобы построить \(y = 2x^2 - 12x + 16\), мы приводим её к виду:
\[y = 2(x - 3)^2 - 2.\]Это позволяет сразу определить вершину параболы и направление ветвей.
— Вершина: \((3,-2)\)
— Парабола направлена вверх.
После этого выбираются удобные точки слева и справа от вершины, вычисляются значения функции и проводится симметричная парабола.
Вернуться к содержанию учебника