стр. 98 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1. 1) \(3x^2+5x-2<0\)

\(y = 3x^2+5x-2\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\).

\( 3x^2+5x-2=0\)

\( D=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=\)

\(=25+24=49 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt {49} = 7\).

\( x_{1}=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \)

\( x_{2}=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2. \)

 Ответ: \(x \in \left(-2; \frac13\right)\).

2) \(x^2+2x+6>0\)

\(y = x^2+2x+6\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\( x^2+2x+6=0\)

\( D=2^2-4\cdot1\cdot6=\)

\(=4-24=-20<0 \) - корней нет.

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

2) \( (x-5)(x+7)(x+9)<0\)

\( (x-5)(x+7)(x+9)=0\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x + 7 = 0\)

        \(x = -7\)

или  \(x + 9 = 0\)

        \(x = -9\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (-7; 5)\).

Пояснения:

1. Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней, то есть парабола в таком случае не пересекает ось \(x\).

2. Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.