Упражнение 175 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 67

\[ y=\frac{8x-7}{x}=8-\frac{7}{x}. \]

Чтобы \(y\) было целым числом, дробь \(\dfrac{7}{x}\) должна быть целым числом, значит, \(x\) — делитель числа 7.

Делители числа 7:

\[ x=\pm 1,\; \pm 7. \]

1) Если \(x=1\), то

\[ y=8-\frac{7}{1}=1 \]

Точка: \((1,\,1)\)

2) \(x=-1\): \[ y=8-\frac{7}{-1}=8+7=15 \]

Точка: \((-1,\,15)\)

3) \(x=7\): \[ y=8-\frac{7}{7}=8-1=7 \] Точка: \((7,\,7)\)

4) \(x=-7\): \[ y=8-\frac{7}{-7}=8+1=9 \] Точка: \((-7,\,9)\)

Ответ: \((1; 1),\; (-1; 15),\)

\((7; 7),\; (-7; 9). \)

Пояснения:

Для поиска целых или натуральных решений рационального уравнения принято выделять целую часть, то есть в данном случае приводим функцию к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x} + n\). При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:

\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).

Чтобы условие задачи было выполнимо, оставшаяся дробь \(\dfrac{b}{a}\) должна быть целым числом, тогда \(a\) — делитель \(b\).

В нашем случае \(a=7\), поэтому проверяем только делители числа 7. На каждом из них получается целое значение функции.