Упражнение 178 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 67

1) \( y=\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1) +1 +2}{x-1} =\)

\(=1+\frac{3}{x-1}. \)

Асимптоты: \(x=1\), \(y=1\); коэффициент \(k = 3>0\), значит ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот - это график на рисунке а).

2) \( y=\frac{-x-2}{x-1}=-\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=\)

\(=-\left(1+\frac{3}{x-1}\right) =-1-\frac{3}{x-1}. \)

Асимптоты: \(x=1\), \(y=-1\); коэффициент \(k = -3<0\), значит ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот - это график на рисунке б).

Пояснения:

Чтобы установить соответствие между функциями и графиками, приводим эти функции к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\). Для этого нужно выделить целую часть из дроби, соответствующей рассматриваемой функции. При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:

\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).

Функция вида \( y = a + \frac{k}{x-m} \) является гиперболой. Её вертикальная асимптота: \(x=m\), горизонтальная: \(y=a\).

Знак числа \(k\) определяет расположение ветвей: при \(k>0\) ветви находятся в I и III четвертях относительно асимптот, при \(k<0\) — во II и IV четвертях.