Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что графику функции \(y=\dfrac{2x+5}{x-3}\) принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.
Вспомните:
\( y=\frac{2x+5}{x-3},\)
\( x\in \mathbb{N},\; x\neq 3,\; y\in\mathbb{N}. \)
\( \frac{2x+5}{x-3} = \frac{2x - 6 + 6 + 5}{x-3} = \)
\(=\frac{2(x - 3) + 11}{x-3} = 2 + \frac{11}{x-3}.\)
\(y = 2 + \frac{11}{x-3}\)
\(y\) - натуральное число, если \(x-3\) - делитель числа \(11\).
Делители 11: \(\pm1\), \(\pm11\).
1) Если \(x - 3 = -1\), то
\(x = -1 + 3 = 2\),
\(y = 2 + \frac{11}{-1} = 2 - 11 = -9\) - не является натуральным.
2) Если \(x - 3 = 1\), то
\(x = 1 + 3 = 4\),
\(y = 2 + \frac{11}{1} = 2 + 11 = 13\).
Точка \((4; 13)\).
3) Если \(x - 3 = 11\), то
\(x = 11 + 3 = 14\),
\(y = 2 + \frac{11}{11} = 2 + 1 = 3\).
Точка \((14,\;3)\).
4) Если \(x - 3 = -11\), то
\(x = -11 + 3 = -9\) - не является натуральным.
Ответ: \( (14; 3), \quad (4; 13). \)
Пояснения:
Для поиска целых или натуральных решений рационального уравнения принято выделять целую часть, то есть приводить функцию к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\). При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:
\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).
Чтобы условие задачи было выполнимо, оставшаяся дробь \(\dfrac{b}{a}\) должна быть целым числом, тогда \(a\) — делитель \(b\).
После преобразования:
\(y = 2 + \frac{11}{x-3}\),
чтобы \(y\) был натуральным, дробь \( \frac{11}{x-3}\) должна быть целым числом, которое больше 2. Это возможно только в четырех случаях, потому что число 11 имеет лишь четыре целых делителя: \(\pm1\) и \(\pm11\), но по условию \(x\) и \(y\) - натуральные числа, значит, знаменатель \(x - 3\) не может быть равен \(-1\), так как в этом случае \(y\) не будет натуральным, и \(-11\), так как в этом случае \(x\) - не будет натуральным.
При \(x - 3 = 1\), получаем
\(x = 4\), \(y = 13\).
При \(x - 3 = 11\), получаем
\(x = 14\), \(y = 3\).
Обе точки \( (14,\;3)\) и \((4,\;13)\) принадлежат графику и удовлетворяют условию натуральности.
Вернуться к содержанию учебника