Упражнение 186 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 68

а) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) чётные, тогда

\( f(-x)=f(x), \)

\(g(-x)=g(x). \)

Рассмотрим сумму:

\( y(x)=f(x)+g(x). \)

\( y(-x)=f(-x)+g(-x)=\)

\(=f(x)+g(x)=y(x). \)

\( y(-x)=y(x), \) значит, сумма двух чётных функций есть функция чётная.

б) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) нечётные, тогда

\( f(-x)=-f(x), \)

\(g(-x)=-g(x). \)

Рассмотрим сумму:

\[ y(x)=f(x)+g(x). \]

Подставим \(-x\):

\( y(-x)=f(-x)+g(-x)=\)

\(=-f(x)-g(x)=\)

\(=-(f(x)+g(x))=-y(x). \)

\( y(-x)=-y(x), \) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

Пояснения:

1. Определение чётности:

\[ f(-x)=f(x). \]

График симметричен относительно оси \(Oy\).

2. Определение нечётности:

\[ f(-x)=-f(x). \]

График симметричен относительно начала координат.

3. Смысл доказательства.

Мы просто подставляем в сумму аргумент \(-x\) и проверяем, какое свойство выполняется — чётности или нечётности.