Упражнение 187 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 68

а) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) чётные, тогда

\( f(-x)=f(x), \)

\(g(-x)=g(x). \)

Рассмотрим произведение:

\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)

\( y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\)

\(=f(x)\cdot g(x)=y(x). \)

\( y(-x)=y(x),\) значит, произведение двух чётных функций является чётной функцией.

б) Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) нечётные, тогда

\( f(-x)=-f(x), \)

\(g(-x)=-g(x). \)

Рассмотрим произведение:

\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)

\( y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\)

\(=(-f(x))\cdot(-g(x))=\)

\(=f(x)g(x)=y(x). \)

\( y(-x)=y(x),\) значит, произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

в) Пусть функция \(f(x)\) — чётная, а \(g(x)\) — нечётная, тогда

\( f(-x)=f(x), \)

\(g(-x)=-g(x). \)

Рассмотрим произведение:

\( y(x)=f(x)\cdot g(x). \)

\( y(-x)=f(-x)g(-x)=\)

\(=f(x)\cdot(-g(x))=\)

\(=-f(x)g(x)=-y(x). \)

\( y(-x)=-y(x), \) значит, произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

Пояснения:

1. Чётная функция удовлетворяет \(f(-x)=f(x)\) (симметрия относительно оси \(Oy\)).

2. Нечётная функция удовлетворяет \(f(-x)=-f(x)\) (симметрия относительно начала координат).

3. Алгебраические свойства:

— произведение двух одинаковых знаков (оба «чётные» или оба «нечётные») даёт чётность;

— произведение разных знаков (одна - "четная", а другая - "нечетная") даёт нечётность.

Это полностью согласуется с вычислениями.