Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№322 учебника 2023-2026 (стр. 105):
Решите уравнение:
а) \(y^7 - y^6 + y = 1\);
б) \(y^7 + y^6 - 27y = 27\).
№322 учебника 2014-2022 (стр. 92):
Функция задана формулой \(y = \dfrac{0{,}5x - 2}{3}\). Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения её графика с осью \(x\); с осью \(y\). Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
№322 учебника 2023-2026 (стр. 105):
Вспомните:
№322 учебника 2014-2022 (стр. 92):
Вспомните:
№322 учебника 2023-2026 (стр. 105):
а) \(y^7 - y^6 + y = 1\)
\(y^7 - y^6 + y - 1 = 0\)
\(y^6(y - 1) + (y - 1) = 0\)
\((y - 1)(y^6 + 1) = 0\)
\(y - 1 = 0\) или \(y^6 + 1 = 0\)
\(y = 1\) \(y^6 = -1\) - нет корней.
Ответ: \(y = 1\).
б) \(y^7 + y^6 - 27y = 27\)
\(y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0\)
\(y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0\)
\((y + 1)(y^6 - 27) = 0\)
\(y + 1 = 0\) или \(y^6 - 27 = 0\)
\(y = -1\) \(y^6 = 27\)
\((y^2)^3 = 3^3 \)
\(y^2 = 3\)
\(y = \pm \sqrt{3}\)
Ответ: \( -1;\; -\sqrt{3};\; \sqrt{3}.\)
Пояснения:
Используемые приёмы:
1) Перенос всех членов уравнения в одну часть со сменой знака.
2) Группировка слагаемых в многочлене и вынесение общего множителя: \[ A\cdot B + C\cdot B = B(A + C). \]
3) Свойство произведения: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
4) Для чётной степени: \( y^6 \ge 0\) при любом значении \(y\).
Пояснение к пункту а).
Переносим всё в левую часть: \[ y^7 - y^6 + y - 1 = 0. \]
Замечаем пары с общим множителем:
\( (y^7 - y^6) + (y - 1) =\)
\(=y^6(y - 1) + (y - 1). \)
Выносим общий множитель \((y - 1)\):
\(y^6(y - 1) + (y - 1) = \)
\(=(y - 1)(y^6 + 1). \)
Получили произведение двух множителей, приравниваем каждый к нулю: \[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1, \] \[ y^6 + 1 = 0 \Rightarrow y^6 = -1. \]
Но при любом значении \(y\) число \(y^6\) всегда неотрицательно, поэтому равенство \(y^6 = -1\) невозможно. Остаётся единственное возможное решение \(y = 1\).
Пояснение к пункту б).
Снова переносим всё в левую часть: \[ y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0. \]
Группируем:
\( (y^7 + y^6) - (27y + 27) =\)
\(=y^6(y + 1) - 27(y + 1). \)
Выносим общий множитель \((y + 1)\):
\( y^6(y + 1) - 27(y + 1) =\)
\(=(y + 1)(y^6 - 27). \)
Приравниваем множители к нулю: \[ y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1, \] \[ y^6 - 27 = 0 \Rightarrow y^6 = 27. \]
Заметим, что \(y^6 = (y^2)^3\), \( 27 = 3^3\), значит, \(y^2 = 3\), откуда \(y = \pm\sqrt3\).
Итак, у второго уравнения три корня:
\[ y = -1,\, y = \sqrt{3},\, y = -\sqrt{3}. \]
№322 учебника 2014-2022 (стр. 92):
\(y = \dfrac{0{,}5x - 2}{3}\)
1) С осью \(x\): \(y = 0\).
\( \frac{0{,}5x - 2}{3} = 0\) \(/\times 3\)
\(0{,}5x - 2 = 0\)
\(0{,}5x = 2\) \(/\times 2\)
\(x = 4\)
\((4;\,0)\) - точка пересечения с осью \(x\).
2) С осью \(y\): \(x = 0\).
\( y = \frac{0{,}5\cdot 0 - 2}{3} = \frac{-2}{3}. \)
\((0;\,-\tfrac23)\) - точка пересечения с осью \(y\).
3) \( y = \frac{0{,}5x - 2}{3} = \frac{0{,}5}{3}x - \frac{2}{3} =\)
\(=\frac{5}{30}x - \frac{2}{3}=\frac{1}{6}x - \frac{2}{3}\) - линейная функция, \(k = \dfrac{1}{6} > 0\), значит, функция возрастающая.
Пояснения:
1. Для нахождения точки пересечения с осью \(x\) всегда решаем уравнение \(y=0\). Это даёт значение \(x\), при котором график проходит через ось. Точка имеет вид \((x_0,0)\).
2. Для точки пересечения с осью \(y\) подставляем \(x=0\). Это даёт значение \(y\), при котором график пересекает ось. Точка имеет вид \((0,y_0)\).
3. Линейная функция \(y=kx+b\) возрастающая, если \(k>0\), и убывающая, если \(k<0\).
Здесь \(k=\frac16>0\), поэтому функция возрастающая.
Вернуться к содержанию учебника