Упражнение 325 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^4 - 6x^2 + 3 = 0\)

\(x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\)

\(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^4 - 6\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 + 3 = 0\)

\(\left(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)

\(\left(3 + \sqrt{5}\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)

\(3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt5 +(\sqrt5)^2 - 18 - 6\sqrt5 + 3 = 0\)

\(9 + \cancel{6\sqrt5} + 5 -18 - \cancel{6\sqrt5} + 3 = 0\)

\(-1 = 0\) - неверно.

Ответ: число \(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\) не является корнем уравнения.

б) \(x^4 - 10x^2 + 23 = 0\)

\(x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}\)

\(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^4 - 10\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2 + 23 = 0\)

\(\left(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)

\(\left(5 - \sqrt{2}\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)

\(5^2 - 2\cdot5\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2 - 50 + 10\sqrt2 + 23 =0\)

\(25-\cancel{10\sqrt2} + 2 - 50 + \cancel{10\sqrt2} + 23 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Ответ: число \(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\) является корнем уравнения.

Пояснения:

Биквадратное уравнение имеет вид \[ x^4 + bx^2 + c = 0. \] В нём переменная встречается только в чётных степенях. Чтобы проверить, является ли данное число корнем, можно подставить его в уравнение и, если после вычислений получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.

Правила, используемые при вычислениях:

1. Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

2. Свойство корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

3. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

а) \((x + 8)(x - 5) > 0\)

\((x + 8)(x - 5) = 0\)

\(x + 8 = 0\)   или   \(x - 5 = 0\)

\(x = -8\)                \(x = 5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)\).

б) \((x - 14)(x + 10) < 0\)

\((x - 14)(x + 10) = 0\);

\(x - 14 = 0\)   или   \(x + 10 = 0\)

\(x = 14\)                   \( x = -10\).

Ответ: \(x \in (-10; 14)\).

в) \((x - 3{,}5)(x + 8{,}5) \ge 0\)

\((x - 3{,}5)(x + 8{,}5) = 0\)

\(x - 3{,}5 = 0\)   или   \(x + 8{,}5 = 0\)

\(x = 3{,}5\)                   \(x = -8{,}5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)\).

г) \(\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0\)

\(\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) = 0\)

\(x + \frac{1}{3}= 0\)   или   \(x + \frac{1}{8}=0\)

\(x = -\frac13\)                \(x = -\frac18\)

Ответ: \( x \in \left[-\frac13; -\frac18\right]\).

Пояснения:

1. Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

2. Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

3. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

4. Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.