Упражнение 328 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{1}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash x + 4}} - \frac{1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash x+2}} = \frac{1}{x+8} ^{\color{blue}{\backslash x + 20}} - \frac{1}{x+20} ^{\color{blue}{\backslash x+ 8}} \)

ОДЗ:

\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)

\(x + 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq -4;\)

\(x + 8 \ne 0, \Rightarrow x\neq -8;\)

\(x + 20 \ne 0, \Rightarrow x\neq -20.\)

\( \frac{x+4 - (x+2)}{(x+2)(x+4)} =\frac{x+20 - (x+8)}{(x+8)(x+20)} \)

\( \frac{\cancel x+4 - \cancel x - 2}{(x+2)(x+4)} =\frac{\cancel x+20 - \cancel x - 8}{(x+8)(x+20)} \)

\(\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}\)

\(2(x+8)(x+20) = 12(x+2)(x+4)\) \(/ :2\)

\((x+8)(x+20) = 6(x+2)(x+4)\)

\(x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)\)

\(x^2 + 28x +160 = 6(x^2 +6x + 8)\)

\(x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48\)

\(x^2 + 28x + 160 - 6x^2 - 36x - 48=0\)

\(-5x^2 - 8x + 112 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(5x^2 + 8x - 112 = 0\)

\( D = 8^2 - 4\cdot 5 \cdot (-112) =\)

\(= 64 + 2240 = 2304 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{2304} = 48\).

\( x_{1} = \frac{-8 + 48}{2\cdot5} = \frac{40}{10} = 4.\)

\( x_2 =\frac{-8 - 48}{2\cdot5} = \frac{-56}{10} = -5,6. \)

Ответ: \( x = 4,\quad x = -5,6. \)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

Уравнения имеют вид разности двух дробей, равной разности двух других дробей. Удобно сначала привести каждую сторону к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.

а) \((x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0\)

\((x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0\)

или  \(x + 48 = 0\)

        \(x = -48\)

или  \(x - 37 = 0\)

        \(x = 37\)

или  \(x - 42 = 0\)

        \(x = 42\)

Ответ:  \(x \in (-48; 37) \cup (42; + \infty)\).

б) \((x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0\)

\((x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)=0\)

или  \(x + 0,7 = 0\)

        \(x = -0,7\)

или  \(x - 2,8 = 0\)

        \(x = 2,8\)

или  \(x - 9,2 = 0\)

        \(x = 9,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.