Упражнение 323 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0\)

\((2x^7 + x^6) + (2x^4 + x^3) + (2x + 1) = 0\)

\(x^6(2x + 1) + x^3(2x + 1) + (2x + 1) = 0\)

\((2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0\)

или  \(2x + 1 = 0 \)

        \(2x = -1\)

         \(x = -\dfrac{1}{2}\)

         \(x = -0,5\)

или \(x^6 + x^3 + 1 = 0\)

Пусть \(x^3 = t\), тогда

\(t^2 + t + 1 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(=1 - 4 = -3 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(-0,5\).

б) \(x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0\)

\((x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2) = 0\)

\(x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + (x - 2) = 0\)

\((x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0\)

или  \(x - 2 = 0 \)

        \(x = 2\)

или \(x^6 + 2x^3 + 1 = 0\).

Пусть \( x^3=t\), тогда

\(t^2 + 2t + 1 = 0\)

\((t + 1)^2 = 0\)

\(t + 1 = 0\)

\(t = -1\)

\(x^3 = -1 \)

\(x = -1\)

Ответ: \(2,\; -1.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях используется группировка слагаемых и вынесение общего множителя. После этого уравнение приводится к виду произведения двух выражений, которое равно нулю.

2. Свойство нуля произведения: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому после разложения многочлена на множители решаем несколько более простых уравнений.

Пояснение к пункту а).

Сначала сгруппировали степени: \[ (2x^7 + x^6) + (2x^4 + x^3) + (2x + 1). \] В первых двух скобках вынесли \(x^6\) и \(x^3\), заметив общий множитель \(2x + 1\): \[ x^6(2x + 1) + x^3(2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)(x^6 + x^3 + 1). \] Далее решаем каждое уравнение:

\[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0,5, \]

и \( x^6 + x^3 + 1 = 0. \)

Подстановка \(t = x^3\) даёт квадратное уравнение: \[ t^2 + t + 1 = 0, \] дискриминант которого отрицателен, значит действительных корней нет. Поэтому единственный действительный корень исходного уравнения — \(x = -0,5\).

Пояснение к пункту б).

Аналогично группируем: \[ (x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2), \] выносим \(x^6\) и \(2x^3\), получаем общий множитель \((x - 2)\): \[ x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1). \] Отсюда \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2, \)

и \( x^6 + 2x^3 + 1 = 0. \)

Подстановка \(t = x^3\) даёт:

\( t^2 + 2t + 1 = 0 \)

или по формуле квадрата суммы

\((t + 1)^2 = 0 \),

откуда \(t = -1. \)

Возвращаясь к переменной \(x\), имеем \(x^3 = -1\), откуда \( x = -1 \).

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения: \(x = 2\) и \(x = -1\).

а) \(y^{4} - 24y^{2} - 25 = 0\)

\(y^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 24t - 25 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -24\),  \(c = -25\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-24)^2 - 4\cdot1\cdot(-25) =\)

\(=576 + 100 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\)

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(t_{1} = \dfrac{24 + 26}{2\cdot1} = \dfrac{50}{2} = 25.\)

\(t_{2} = \dfrac{24 - 26}{2} = -\dfrac22= -1\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 25\), то

\(y^{2} = 25\)

\(y = \sqrt{25}\)

\(y = \pm 5\)

Ответ: \(y = -5; \; 5\).

б) \(x^{4} - 9x^{2} + 18 = 0\)

\(x^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 9t + 18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -9\),  \(c = 18\)

\(D = (-9)^2 - 4\cdot1\cdot18 = 81 - 72 = 9\)

\(\sqrt{9} = 3\)

\(t_{1} = \dfrac{9 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6.\)

\(t_{2} = \dfrac{9 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

1) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 6 \)

\(x = \pm\sqrt{6}\)

2) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 3 \)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = \pm\sqrt{6},\; \pm\sqrt{3}\).

Пояснения:

Уравнения вида \(ax^4+bx^2+c=0\), где \(a\ne0\), являющиеся квадратными относительно \(x^2\), называют биквадратными уравнениями.

Решение биквадратного уравнения:

вводят замену \[x^2 = t \ge 0,\] получают квадратное уравнение \[at^2+bt+c=0.\] Находят корни \(t_1,t_2\), потом для каждого неотрицательного корня решают \[x^2=t,\] то есть \[x=\pm\sqrt{t}.\]