Упражнение 327 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0\)

ОДЗ: \(y^2 - 16 \ne 0 \)

\((y - 4)(y + 4) \ne 0 \)

\(y - 4 \ne 0\)  и  \(y + 4 \ne 0\)

\(y \ne 4\)             \(y \ne -4\)

\(3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0\)   \(/ : 3\)

\(y^3 + 4y^2 - 9y - 36=0\)

\(y^2(y + 4) - 9(y + 4) =0\)

\((y + 4)(y^2 - 9) = 0\)

\((y + 4)(y - 3)(y + 3) = 0\)

или  \( y + 4 = 0\)

        \(y = -4\) - не удовлетворяет ОДЗ.

или  \(y - 3 = 0 \)

        \( y = 3\)

\(или  y + 3 = 0\)

        \(y = -3.\)

Ответ: \(y = 3,\; y = -3.\)

б) \(\dfrac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0\)

ОДЗ: \(y^3 - 36y \ne 0\)

\(y(y^2 - 36) \ne 0 \)

\(y(y - 6)(y + 6) \ne 0 \)

\(y \ne 0\) и \(y - 6 \ne 0\) и \(y + 6 \ne 0\)

              \(y \ne 6\)            \( y \ne -6.\)

\(y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0\)

\(y^2(y + 6) - 1(y + 6)=0\)

\((y^2 - 1)(y + 6) =0\)

\((y - 1)(y + 1)(y + 6)=0\)

или  \(y - 1 = 0\)

        \(y = 1\)

или  \(y + 1=0\)

        \(y = -1\)

или  \(y + 6 = 0\)

        \(y = -6\) - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(y = 1,\; y = -1.\)

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) приравнять числитель к нулю;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

При решении целых уравнений сначала разложили на множители левую часть уравнения, затем каждый множитель приравняли к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Для разложения многочленов на множители использовались приёмы группировки и вынесение общего множителя из группы, а также формулу разности квадратов:

\[ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \]

а) \((x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0\)

\((x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0\)

или  \(x-2=0\)

       \(x = 2\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x-12 =0\) 

        \(x=12\)

Ответ: \(x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)\).

б) \((x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0\)

\((x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0\)

или  \(x+7=0\)

        \(x = -7\) 

или  \(x + 1=0\)

        \(x=-1\) 

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x=4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)\).

в) \(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0\)

\(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1\)

или  \(x + 5 = 0\)

        \(x = -5\)

или  \(x - 8 = 0\)

        \(x = 8\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.