Упражнение 331 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1}\)

\( \frac{1}{x^2(x - 1) + (x - 1)} + \frac{4x^2 + 21}{x^2(x + 1) + (x + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}\)

\( \frac{1}{(x - 1) (x^2+ 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}\) \(/\times(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)\)

ОДЗ:

\(x - 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq 1;\)

\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1.\)

\(x + 1 + (4x^2 + 21)(x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(x + 1 + 4x^3 + 21x - 4x^2 - 21 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(\cancel {4x^3} - 4x^2 + 22x - 20 - \cancel{4x^3} + 3x^2 - 14x + 4\)

\(-x^2 + 8x - 16 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 8x + 16 = 0\)

\((x - 4)^2 = 0\)

\(x = 4\)

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Приемы разложения на множители:

• группировка слагаемые и вынесение общего множителя за скобки;

• разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

После преобразований получили квадратный трёхчлен, который можно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности двух выражений: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2. \]

Отсюда \[ (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4. \]

Проверяем, не попадает ли корень в запрещённые значения ОДЗ: \(4 \ne 1\) и \(4 \ne -1\), значит, он допустим.

Итак, уравнение имеет единственный корень: \[ x = 4. \]

а) \(2(x - 18)(x - 19) > 0\)   \(/ : 2\)

\((x - 18)(x - 19) > 0\)

\((x - 18)(x - 19) = 0\)

\(x - 18 = 0\)  или  \(x - 19 = 0\)

\(x = 18\)                 \( x = 19\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 18) \cup (19; +\infty)\).

б) \(-4(x + 0{,}9)(x - 3{,}2) < 0\) \(/ :(-4)\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) > 0\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) = 0\)

\(x + 0,9 = 0\)   или   \(x - 3,2 = 0\)

\(x = -0,9\)                \(x = 3,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,9) \cup (3,2; +\infty)\).

в) \((7x + 21)(x - 8{,}5) \le 0\)

\((7x + 21)(x - 8{,}5) = 0\)

\(7x + 21 = 0\)   или   \(x - 8,5 = 0\)

\(7x = -21\)                \(x = 8,5\)

\(x = -\frac{21}{7}\)

\(x=-3\)

Ответ: \(x \in [-3; 8{,}5]\).

г) \((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\(8 - x = 0\)   или   \(x - 0,3 = 0\)

\(x = 8\)                 \(x = 0,3\)     

Ответ: \(x \in [0{,}3; 8]\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.