Упражнение 335 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15\)

ОДЗ: \(x - 2 \ne 0\)  и  \(x + 1 \ne 0\)

         \(x \ne 2\)              \(x \ne -1\)

Пусть \(t = \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 \ge 0\), тогда

\(\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).

\(t - 16\cdot\dfrac{1}{t} = 15\)   \(/\times t\)

\(t^2 - 16 = 15t\)

\(t^2 - 15t - 16 = 0\)

\(D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot (-16) =\)

\(=225 + 64 = 289 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{289} = 17.\)

\(t_{1} = \dfrac{15 + 17}{2\cdot1} = \dfrac{32}{2} = 16\).

\(t_{2} = \dfrac{15 - 17}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\)

Если \(t = 16\), то

\(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16\)

\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm\sqrt{16}\)

\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm4\)

1) \(\dfrac{x+1}{x-2} = 4 \)  \(/\times (x-2)\)

\(x+1 = 4(x - 2)\)

\(x+1 = 4x - 8\)

\(x - 4x = -8 - 1\)

\(-3x = -9 \)

\(x = \frac{-9}{-3}\)

\(x = 3\)

2) \(\dfrac{x+1}{x-2} = -4\) \(/\times (x-2)\)

\(x+1 = -4(x - 2) \)

\(x+1 = -4x + 8 \)

\(x + 4x = 8 - 1\)

\(5x = 7 \)

\(x = \dfrac{7}{5}\)

\(x = 1,4\)

Ответ: \(x = 3,\; x = 1,4\).

б) \(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8\)

Пусть \(t = \left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2\), тогда

\(\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).

\(t - 9\cdot\dfrac{1}{t} = 8\)   \(/\times t\)

\(t^2 - 9 = 8t\)

\(t^2 - 8t - 9 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)

\(=64 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{100} = 10\).

\(t_{1} = \dfrac{8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{18}{2} = 9\).

\(t_{2} = \dfrac{8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\).

Если \(t = 9 \), то

\(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9\)

\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm\sqrt{9}\)

\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm3\)

1) \(\dfrac{x+3}{x-5} = 3 \)   \(/\times (x - 5)\)

\(x+3 = 3(x - 5) \)

\(x+3 = 3x - 15 \)

\(x - 3x = -15 - 3\)

\(-2x = -18 \)

\(x = \frac{-18}{-2}\)

\(x = 9\)

2) \(\dfrac{x+3}{x-5} = -3 \)

\(x+3 = -3x + 15 \)

\(x + 3x = 15 - 3\)

\(4x = 12\)

\(x = \dfrac{12}{4}\)

\( x = 3\)

Ответ: \(x = 9,\; x = 3.\)

Пояснения:

В обоих уравнениях дроби вида \(\dfrac{x+1}{x-2}\) и \(\dfrac{x-2}{x+1}\), а также \(\dfrac{x+3}{x-5}\) и \(\dfrac{x-5}{x+3}\) являются взаимно обратными: произведение каждой пары равно 1. Поэтому удобно ввести подстановку \( t\) и \(\dfrac{1}{t}\), учитывая то, что каждая дробь дана во второй степени, должно выполняться условие \(t \ge 0\).

После подстановки получаем дробно-рациональные уравнения относительно переменной \(t\), которые после умножения на \(t\) превращаются в квадратные уравнения вида \(at^2 + bt + c = 0\), которые решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

В каждом случае один из корней получился отрицательным, что не удовлетворяет условию \(t \ge 0\), поэтому эти корни исключаем.

Далее возвращаемся к переменной \(x\) и имеем уравнения вида \(y^2 = t\), откуда \(y = \pm\sqrt t\), то есть в каждом случае получаем по два дробно-рациональных уравнения относительно переменной \(x\), решив которые получаем по 2 корня уравнения, удовлетворяющих ОДЗ.

а) \(\dfrac{x - 21}{x + 7} < 0\)

\((x - 21)(x + 7) < 0\)

\((x - 21)(x + 7) = 0\)

\(x - 21 = 0\)  или   \(x + 7 =0\)

\(x = 21\)                  \(x = -7\)

Ответ: \(x \in (-7; 21)\).

б) \(\dfrac{x + 4{,}7}{x - 7{,}2} > 0\)

\((x + 4{,}7)(x - 7{,}2) > 0\)

\((x + 4{,}7)(x - 7{,}2) = 0\)

\(x + 4,7 = 0\)   или   \(x - 7,2 = 0\)

\(x=-4{,}7\)                 \(x=7{,}2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; + \infty)\).

в) \(\dfrac{6x + 1}{3 + x} > 0 \)

\((6x + 1)(3 + x) > 0 \)

\((6x + 1)(3 + x) = 0 \)

\(6x + 1 = 0\)   или   \(3 + x = 0\)

\(6x = -1\)                \(x = - 3\)

\(x = -\frac16\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup \left(-\frac16; + \infty\right)\).

г) \(\dfrac{5x}{4x - 12} < 0\)

\(5x(4x - 12) < 0\)   \(/ : 5\)

\(x(4x - 12) < 0\)

\(x(4x - 12) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(4x - 12 = 0\)

                       \(4x = 12\)

                       \(x = \frac{12}{4}\)

                       \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (0; 3)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Также помним свойство неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.