Упражнение 336 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 2\)

ОДЗ: \(x \ne 0.\)

Пусть \(t = x + \dfrac{1}{x}\), тогда

\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)

\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)

\( 2(t^2 - 2) - t = 2\)

\( 2t^2 - 4 - t - 2=0\)

\( 2t^2 - t - 6 = 0\)

\( D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-6) =\)

\(=1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.

\( t_{1} = \frac{1 + 7}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2\).

\( t_{2} = \frac{1 - 7}{2\cdot2} = \frac{-6}{4} =-\frac32\).

1) Если \(е = 2\), то

\( x + \frac{1}{x} = 2 \)   \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = 2x\)

\(x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\((x - 1)^2 = 0\)

\(x - 1 = 0\)

\(x = 1. \)

2) Если \(t = -\dfrac{3}{2}\), то

\( x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2} \)   \(/\times 2x\)

\(2x^2 + 2 = -3x\)

\( 2x^2 + 3x + 2 = 0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)

\(=9 - 16 = -7 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(x = 1\).

б) \(9x^2 - 18x + \dfrac{9}{x^2} - \dfrac{18}{x} = 22\)

\( \left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x - \frac{18}{x}\right)= 22 \)

\( 9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22\)

ОДЗ: \(x \ne 0.\)

Пусть \( t = x + \frac{1}{x},\) тогда

\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)

\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)

\( 9(t^2 - 2) - 18t = 22\)

\( 9t^2 - 18 - 18t - 22 = 0\)

\[ 9t^2 - 18t - 40 = 0. \]

\( D = (-18)^2 - 4\cdot9\cdot(-40) = \)

\(=324 + 1440 = 1764 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {1764} = 42\).

\(t_{1} = \frac{18 + 42}{2\cdot9} =\frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).

\(t_{2} = \frac{18 - 42}{2\cdot9} =\frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}\).

1) Если \(t = \dfrac{10}{3}\), то

\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}\)   \(/\times 3x\)

\(3x^2 + 3 = 10x\)

\(3x^2 - 10x + 3 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)

\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.

\( x_{1} = \frac{10 + 8}{2\cdot3} =\frac{18}{6}= 3\).

\( x_{2} = \frac{10 - 8}{2\cdot3} =\frac{2}{6}= \frac{1}{3}\).

2) Если \(t = -\dfrac{4}{3}\), то

\( x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3} \)    \(/\times 3x\)

\(x^2 + \frac{4}{3}x + 1 = 0\)

\( 3x^2 + 4x + 3 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)

\(=16 - 36 = -20 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(x = 3;\;  x = \dfrac{1}{3}.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях встречается выражение \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) вместе с \(x + \dfrac{1}{x}\). Удобно ввести новую переменную:

\(t = x + \frac{1}{x}, \)

тогда квадратное выражение выражается через неё по формуле:

\((x + \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \tfrac{1}{x^{2}}. \)

2. После подстановки получаем обычные квадратные уравнения по новой переменной \(t\) вида \(at^2 + bt + c = 0\). Решаем их через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}.\)

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

Затем для каждого значения новой переменной решаем ещё одно квадратное уравнение относительно \(x\).

3. Условие \(x \ne 0\) важно, чтобы выражения \(\dfrac{1}{x}\) были определены. Все найденные корни удовлетворяют этому условию, поэтому все они входят в ответ.

а) \(\dfrac{x-1}{x-3} \ge 0\)

\(\begin{cases} (x-1)(x-3) \ge 0, \\ x - 3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x-1)(x-3) \ge 0, \\ x \ne 3 \end{cases}\)

\((x-1)(x-3) \ge 0\)

\((x-1)(x-3) = 0\)

\(x - 1 = 0\)   или   \(x - 3 = 0\)

\(x = 1\)                   \(x = 3\)

Ответ: \(x\in(-\infty;1]\cup(3;+\infty)\).

б) \(\dfrac{x+6}{x-5} \le 0\)

\(\begin{cases} (x+6)(x-5) \le 0, \\ x - 5 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+6)(x-5) \le 0, \\ x \ne 5 \end{cases}\)

\((x+6)(x-5) \le 0\)

\((x+6)(x-5) = 0\)

\(x + 6 = 0\)   или   \(x - 5 = 0\)

\(x = - 6\)                \(x = 5\)

Ответ: \(x\in[-6;5)\).

в) \(\dfrac{2-x}{x}\ge0\).

\(\begin{cases} (2-x)x \ge 0, \\ x \ne 0 \end{cases}\)

\((2-x)x \ge 0\)

\((2-x)x = 0\)

\(2 - x = 0\)    или   \(x = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x\in(0;2]\).

г) \(\dfrac{3-2x}{x-1}\le0\)

\(\begin{cases} (3-2x)(x-1) \le 0, \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (3-2x)(x-1) \le 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((3-2x)(x-1) \le 0\)

\((3-2x)(x-1) = 0\)

\(3 - 2x = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

\(-2x = -3\)             \(x = 1\)

\(x = \frac{-3}{-2}\)

\(x = 1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;1)\cup\left[1,5;+\infty\right).\)

д) \(\dfrac{7x-2}{1-x}\ge0\)

\(\begin{cases} (7x - 2)(1-x) \ge 0, \\ 1-x \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (7x - 2)(1-x) \ge 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((7x - 2)(1-x) \ge 0\)

\((7x - 2)(1-x) = 0\)

\(7x - 2 = 0\)   или   \(1 - x = 0\)

\(7x = 2\)                    \(x = 1\)

\(x = \frac27\)

Ответ: \(x\in\left[\dfrac{2}{7};1\right).\)

е) \(\dfrac{1-11x}{2x-3}\le0\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ 2x-3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ 2x \ne 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ x \ne \frac32 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ x \ne 1,5 \end{cases}\)

\((1-11x)(2x-3) \le 0\)

\((1-11x)(2x-3) = 0\)

\(1 - 11x = 0\)   или   \(2x - 3 = 0\)

\(11x = 1\)                   \(2x = 3\)

\(x = \frac{1}{11}\)                    \(x = 1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;\tfrac1{11}]\cup\left(1,5;+\infty\right).\)

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

При решении неравенств вида \((x-a)(x-b)\dots\) используют метод интервалов.

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.