Упражнение 341 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}\)

\( 144 - 9x^2 > 0\)

\(y = -9x^2 + 144\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\( -9x^2 + 144 = 0\)

\( -9x^2 = -144\)

\(x^2 = \frac{-144}{-9}\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm4\)

Ответ: \(x \in (-4,\; 4).\)

б) \(y = \dfrac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}\).

1) \( 16 - 24x + 9x^2 \ge 0\)

\(y = 9x^2 - 24x + 16\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(9x^2 - 24x + 16 = 0\)

\(D = (-24)^2 - 4\cdot9\cdot16= \)

\(= 576 - 576 = 0\) - 1 корень.

\(x = \frac{24}{2\cdot9} = \frac{24}{18} = \frac43 = 1\frac13\).

2) \( x + 2 \ne 0\)

    \( x \ne -2. \)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; + \infty ).\)

Пояснения:

Общие правила.

1. Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательно:

\[\sqrt{A} \text{ определён} \iff A \ge 0.\]

2. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю:

\[\frac{1}{B} \text{ определена} \iff B \ne 0.\]

3. Если в знаменателе стоит корень \(\sqrt{A}\), то нужно одновременно: \(\sqrt{A}\ne 0\) и \(A \ge 0\), то есть \(A>0\).

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\).

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) арифметический квадратный корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (положительно).

В пункте б) арифметический квадратный корень находится в числителе, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом знаменатель должен быть отличен от нуля.

\( x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0\)

Числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\) не являются корнями, так как они не являются делителями числа \(98\).

1) \(x=1\) - не является корнем.

\(1-1-51+49+98=0\)

\(96=0 \) - неверно.

2) \(x=-1\) - является корнем.

\(1+1-51-49+98=0\)

\(0=0\) - верно.

3) \(x=2\) - является корнем.

\(16-8-51\cdot4+49\cdot2+98 =0\)

\(16 - 8 - 204 + 98 + 98 = 0\)

\(0=0\) - верно.

4) \(x=-2\) - не является корнем.

\(16+8-51\cdot4-49\cdot2+98 =0\)

\(16 + 8-204-98+98=0\)

\(-180=0\) - неверно.

5) \(x=7\) - является корнем.

\(7^4-7^3-51\cdot7^2+49\cdot7+98 =0\)

\(2401-343-51\cdot49+343+98=0 \)

\( 2401-343-2499+343+98=0\)

\((2401-2499)+(-343+343)+98=0\)

\(-98+0+98=0\)

\(0=0\) - верно.

6) \(x=-7\) - является корнем.

\(2401+343-51\cdot49-49\cdot7+98 =0\)

\(2401+343-2499-343+98 =0\)

\(2744-2499-343+98 =0\)

\(245-343+98=0\)

\(-98+98=0\)

\(0 = 0 \) - верно.

Ответ: корнями уравнения являются:

\(-1;\quad 2;\quad 7;\quad -7. \)

Пояснения:

Если многочлен \[ x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 \] имеет целый корень \(x_0\), то подстановка \(x=x_0\) даёт делимость свободного члена на этот корень. Поэтому любой целый корень обязан быть делителем свободного члена \(98\). Это сразу исключает числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\)), так как 98 на них не делится нацело.

После отбора возможных корней (делителей 98) их просто подставляют в многочлен и считают значение. Если получается верное числовое равенство \(0 = 0\), то \(x_0\) — корень. Так нашли корни \(-1, 2, 7, -7\), а числа \(1\) и \(-2\) при подстановке ноль не дают и поэтому корнями не являются.

Многочлен четвёртой степени может иметь не более четырёх действительных корней. Мы нашли четыре различных корня из списка, значит других действительных корней у него нет.