Упражнение 346 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(x^2 + 6x - 7 \le 0\)

\(y = x^2 + 6x - 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 6x - 7 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-7) =\)

\(=36 + 28 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{-6 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7\).

\(x_{2} = \dfrac{-6 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1\).

\(x \in [-7; 1]\).

2) \(x^2 - 2x - 15 \le 0\)

\(y = x^2 - 2x - 15\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 2x - 15 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{2 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-6}{2} = -3 \).

\(x_{2} = \dfrac{2 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5 \).

\(x \in [-3; 5]\).

3) \([-7; 1] \cap [-3; 5] = [-3; 1]\).

Ответ: \(x \in [-3;\,1]\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c \ge 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) и на оси \(x\).

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Чтобы число \(x\) было решением обоих неравенств одновременно, нужно найти пересечение решений этих неравенств.

а) \( 718x^{4} - 717x^{2} - 1 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)

\( 718t^{2} - 717t - 1 = 0\)

\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.

Если \(t = 1\), то

\( 718\cdot1^{2} - 717\cdot1 - 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(t = 1\) - корень уравнения.

По теореме Виета:

\(1\cdot t_2= -\frac{1}{718}\)

\(t_2= -\frac{1}{718}\)

1) Если \(t = 1\), то

\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\)

2) Если \(t= -\frac{1}{718}\), то

\(x^2 =-\frac{1}{718}\) - не имеет корней.

Ответ: \(x = \pm1\).

б) \( 206x^{4} - 205x^{2} - 1 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)

\(206t^{2} - 205t - 1 = 0\)

\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.

Если \(t = 1\), то

\(206\cdot1^{2} - 205\cdot1 - 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(t = 1\) - корень уравнения.

По теореме Виета:

\(1\cdot t_2= -\frac{1}{206}\)

\(t_2= -\frac{1}{206}\)

1) Если \(t = 1\), то

\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\).

2) Если \(t = -\frac{1}{206}\), то

\(x^2 = -\frac{1}{206}\) - не имеет корней.

Ответ: \(x = \pm1\).

Пояснения:

Биквадратное уравнение имеет вид \(ax^{4} + bx^{2} + c = 0\). Замена \(t = x^{2}\) превращает его в обычное квадратное уравнение. Далее при решении уравнения используем то, что если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента), то есть по свободному члену подбираем один из целых корней уравнения. Затем применяем теорему Виета, согласно которой для уравнения \(at^2 + bt + c = 0\) выполняется равенство:

\(t_1 \cdot t_2 = \frac ca\),

откуда находим второй корень уравнения.

Далее возвращаемся к переменной \(x\) и решаем уравнения вида

\(x^2 = t\), учитывая то, что \(t\ge0\), и получаем \(x = \pm \sqrt t\)