Упражнение 342 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a+2)x^2 + 8x + a - 4 = 0\)

1) \(a + 2 \ne 0\)

    \(a \ne -2\)

2) \( D = 8^2 - 4(a+2)(a - 4)= \)

\(= 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) =\)

\( =64 - 4(a^2 - 2a - 8) =\)

\(= 64 - 4a^2 + 8a + 32 = \)

\(=-4a^2 + 8a + 96\).

Уравнение имеет 2 корня, если:

\(D > 0\)

\(-4a^2 + 8a + 96 > 0\)

\(y = -4a^2 + 8a + 96\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-4a^2 + 8a + 96 = 0\)   \(/ : (-4)\)

\(a^2 - 2a - 24 = 0\)

\( D = 2^2 - 4 \cdot1 \cdot (-24) = \)

\(=4 + 96 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {100} = 10\).

\(a_1 = \frac{2 + 10}{2\cdot 1} = \frac{8}{2} = 6\).

\(a_2 = \frac{2 - 10}{2\cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4\).

Ответ: \(x \in (-4; -2) \cup (-2; 6)\).

Пояснения:

Квадратное уравнение имеет два корня, если коэффициент при \(x^2\) не равен нулю, так ка в противном случае уравнение не будет квадратным, и дискриминант строго положителен.

Дискриминант получился квадратным трёхчленом по \(a\), и задача свелась к решению квадратного неравенства.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Значение \(a\), при  котором коэффициент при \(x^2\) равен нулю, исключаем из полученного промежутка.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

а) \(x^{3} - 4x^{2} + 3x + 2 = 0\)

\(\pm1; \pm2\) - делители числа 2.

Если \(x = 1\), то

\(1^{3} - 4\cdot1^{2} + 3\cdot1 + 2 = 0\)

\(1 - 4 + 3 + 2 = 0\)

\(2 = 0\) - неверно.

\(x = 1\) - не является корнем.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{3} - 4\cdot(-1)^{2} + 3\cdot(-1) + 2 = 0\)

\(-1 - 4 - 3 + 2 = 0\)

\(-6 = 0\) - неверно.

\(x = -1\) - не является корнем.

Если \(x = 2\), то

\(2^{3} - 4\cdot 2^{2} + 3\cdot 2 + 2 = 0\)

\(8 - 16 + 6 + 2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 2\) — корень.

\(x^{3} - 4x^{2} + 3x + 2 = (x - 2)(x^{2} - 2x - 1)\)

\((x - 2)(x^{2} - 2x - 1)=0\)

\(x^{2} - 2x - 1 = 0\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) =\)

\(=4 + 4 = 8 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt8 = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt2\).

\(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.\)

Ответ:  \( 2;\; 1 + \sqrt{2};\; 1 - \sqrt{2}.\)

б) \(x^{4} + 2x^{3} - 7x^{2} - 8x + 12 = 0\)

\(\pm1;\, \pm2; \pm3; \pm4; \pm6; \pm12\) - делители числа 12.

Если \(x = 1\), то

\(1^{4} + 2\cdot1^{3} - 7\cdot1^{2} - 8\cdot1 + 12 = 0\)

\(1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 1\) — корень.

\(x^{4} + 2x^{3} - 7x^{2} - 8x + 12 = (x - 1)(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12).\)

\((x - 1)(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12)=0\)

\(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12 = 0\)

\(x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0\)

\((x+3)(x^2 - 4) = 0\)

\((x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0\)

или \(x + 3 = 0, \Rightarrow x = -3\),

или \(x - 2 = 0, \Rightarrow x = 2\),

или \(x + 2 = 0, \Rightarrow x = -2\).

Ответ: \(1,\; 2,\; -2,\; -3.\)

Пояснения:

Если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). Поэтому для уравнений с целыми коэффициентами удобно проверять несколько простых значений \(x\) (например, \(\pm1, \pm2, \pm3,\dots\)). Найденное значение, при котором многочлен обращается в ноль, даёт линейный множитель

\((x - x_0)\).

После нахождения корня \(x_0\) мы делим многочлен на \((x - x_0)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени. Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, а затем решить квадратное уравнение стандартными способами (формула дискриминанта, разложение на множители).

Квадратное уравнение

\(ax^{2} + bx + c = 0\)

решается через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Еще при разложении на множители можно применить:

• способ группировки, то есть сгруппировать слагаемые так, чтобы у них был общий множитель, вынести его за скобки, в результате чего получится многочлен, который также можно вынести за скобки;

• формулу разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Также при решении уравнений после разложения на множители используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть каждый множитель приравниваем к нулю, и решив полученные уравнения, находим корни уравнения.