Упражнение 351 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((18x - 36)(x - 7) > 0\)

\(18(x - 2)(x - 7) > 0\)  \(/ : 18\)

\((x - 2)(x - 7) > 0\)

\((x - 2)(x - 7) = 0\)

\(x - 2 =0\)  или  \(x - 7 = 0\)

\(x = 2\)                 \(x = 7\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2) \cup (7; +\infty)\).

б) \((x - 7{,}3)(9{,}8 - x) > 0\)

\((x - 7{,}3)(9{,}8 - x) > 0\)

\(x - 7,3 = 0\)  или \(9,8 - x = 0\)

\(x = 7,3\)               \(x = 9,8\)

Ответ: \(x \in(7,3; 9,8)\).

в) \((x + 0{,}8)(4 - x)(x - 20) < 0\)

\((x + 0{,}8)(4 - x)(x - 20) = 0\)

или  \(x + 0,8 = 0\)

        \(x = -0,8\)

или  \(4 - x = 0\)

        \(x = 4\)

или  \(x - 20 = 0\)

        \(x = 20\)

Ответ: \(x \in (-0,8; 4) \cup (20; +\infty)\).

г) \((10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0\)

\((10x + 3)(17 - x)(x - 5) = 0\)

или \(10x + 3 = 0\)

       \(10x = -3\)

        \(x = -\frac{3}{10}\)

        \(x = -0,3\)

или \(17 - x = 0\)

      \(x = 17\)

или \(x - 5 = 0\)

       \(x = 5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,3] \cup[5; 17]\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0, \]

где \(a, b, c\) — некоторые числа, \(a \ne 0\),

\(m\) — корень данного уравнения, т.е.

\( a m^{4} + b m^{3} + c m^{2} + b m + a = 0\) - верное равенство.

\(\dfrac{1}{m}\) - обратное число.

\( a\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{4} + b\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{3} + c\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)

\(a\cdot\frac{1}{m^4} + b\cdot\frac{1}{m^3} + c\cdot\frac{1}{m^2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)\(/\times m^4\)

\(a+bm + cm^2 + bm^3 + am^4=0\) - верное равенство, значит, \(\dfrac{1}{m}\) является корнем уравнения.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Число \(m\) — корень уравнения

\(P(x)=0\), если подстановка \(x=m\) обращает многочлен \(P(x)\) в ноль: \[ P(m)=0. \]

Уравнение \[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a=0 \] называется возвратным: коэффициенты при \(x^{4}\) и \(x^{0}\) равны (\(a\) и \(a\)), при \(x^{3}\) и \(x^{1}\) равны (\(b\) и \(b\)); «симметричность» по степеням.

Чтобы проверить, является ли \(\dfrac{1}{m}\) корнем, мы подставляем его в уравнение. Возникают дроби с разными степенями \(m\), но все их можно привести к общему знаменателю \(m^{4}\) и домножить равенство на \(m^4\), учитывая то, что \(m\) не равно нулю, так как для него существует обратное число. При этом после умножения равенства на \(m^4\) получается то же самое равенство, что и при подстановке \(x=m\), только записанным в обратном порядке, которое является верным по условию. Тем самым доказано: если число \(m\) — корень возвратного уравнения четвёртой степени с ненулевым коэффициентом при старшей и свободной степени, то обратное ему число \(\dfrac{1}{m}\) тоже является его корнем.