Упражнение 356 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-8}{x+4} > 0\).

\((x-8)(x+4) > 0\)

\((x-8)(x+4) = 0\)

\(x - 8 = 0\)  или  \(x + 4 = 0\)

\(x = 8\)                 \(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-\infty;-4)\cup(8;+\infty)\).

б) \(\dfrac{x+16}{x-11} < 0\)

\((x+16)(x-11) < 0\)

\((x+16)(x-11) = 0\)

\(x + 16 = 0\)  или  \(x - 11 = 0\)

\(x = -16\)              \(x = 11\)

Ответ: \(x \in (-16;11)\).

в) \(\dfrac{x+1}{3-x} \ge 0\)

\(\begin{cases} (x+1)(3-x) \ge 0, \\ 3 - x \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+1)(3-x) \ge 0, \\ x \ne 3 \end{cases}\)

\((x+1)(3-x) \ge 0\)

\((x+1)(3-x) = 0\)

\(x + 1 = 0\)  или  \(3 - x = 0\)

\(x = -1\)               \(x = 3\)

Ответ: \(x \in [-1;3)\).

г) \(\dfrac{6-x}{x-4} \le 0\)

\(\begin{cases} (6-x)(x-4) \le 0, \\ x - 4 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (6-x)(x-4) \le 0, \\ x \ne 4 \end{cases}\)

\((6-x)(x-4) \le 0\)

\((6-x)(x-4) = 0\)

\(6 - x = 0\)  или  \(x - 4 = 0\)

\(x = 6\)                 \(x = 4\)

Ответ: \(x \in (-\infty;4)\cup[6;+\infty)\).

д) \(\dfrac{2x-4}{3x+3} \le 0\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ 3x+3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ 3x \ne -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ x \ne -1 \end{cases}\)

\((2x-4)(3x+3) \le 0\)

\((2x-4)(3x+3) = 0\)

\(2x - 4 = 0\)  или  \(3x + 3 =0\)

\(2x = 4\)                  \(3x = -3\)

\(x = \frac42\)                   \(x = \frac{-3}{3}\)

\(x = 2\)                    \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-1;2]\).

е) \(\dfrac{5x-1}{2x+3} \ge 0\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ 2x+3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ 2x \ne -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ x \ne -1,5 \end{cases}\)

\((5x-1)(2x+3) \ge 0\)

\((5x-1)(2x+3) = 0\)

\(5x - 1 = 0\)  или  \(2x + 3 = 0\)

\(5x = 1\)                  \(2x = -3\)

\(x = \frac15\)                   \(x = -\frac32\)

\(x = 0,2\)                \(x = -1,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 1,5)\cup\left[0,2;+\infty\right)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(x^3 = x\)

Графический способ

\(y = x^3\)

\(y = x\)

Точки пересечения графиков:

\((-1;\,-1),\; (0;\,0),\; (1;\,1)\).

\(x = -1,\; 0,\; 1\) - корни уравнения.

Аналитический способ

\(x^3 = x\)

\(x^3 - x = 0\)

\(x(x^2 - 1) = 0\)

\(x(x - 1)(x + 1) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

Ответ: \(-1; \, 0; \,1\).

Пояснения:

Графический способ

Чтобы решить графически уравнение \(x^3 = x\), нужно найти точки пересечения двух графиков:

\(y = x^3\) и \(y=x\), где

\(y = x^3\) - кубическая функция, графиком которой является кубическая парабола. Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).

\(y= x\) - линейная функция, графиком является прямая. Строят график по двум точкам.

Решением уравнения являются значения координаты \(x\) для точек пересечения графиков.

Аналитический способ

Переносим все члены в одну часть, чтобы получить многочлен в левой части уравнения: \[ x^3 - x = 0. \] Выносим общий множитель \(x\): \[ x(x^2 - 1) = 0. \] Выражение в скобках — разность квадратов: \[x(x - 1)(x + 1) = 0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, значит: \[ x = 0,\quad x - 1 = 0,\quad x + 1 = 0. \] Отсюда получаем три корня: \[ x = 0,\quad x = 1,\quad x = -1. \]

Итак, оба способа дают один и тот же набор корней: \[ x = -1,\; 0,\; 1. \]