Упражнение 355 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-3}{x+1}\ge 0\) и \((x-3)(x+1)\ge 0\)

\(x - 3 = 0, \Rightarrow x = 3\).

\(x + 1 = 0, \Rightarrow x = -1\).

Неравенства неравносильны, так как их решения не совпадают: \(x = -1\) не является решением первого неравенства, так как знаменатель должен быть отличен от нуля, но является решением второго неравенства.

Ответ: неравносильны.

б) \(\dfrac{x+5}{x-8}\le 0\) и \((x+5)(x-8)\le 0\)

\(x + 5 = 0, \Rightarrow x = -5\).

\(x - 8 = 0, \Rightarrow x = 8\).

Неравенства неравносильны, так как их решения не совпадают: \(x = 8\) не является решением первого неравенства, так как знаменатель должен быть отличен от нуля, но является решением второго неравенства.

Ответ: неравносильны.

Пояснения:

При переходе от дробного неравенства к произведению нельзя забывать, что знаменатель не должен обращаться в ноль. В дробном неравенстве точка, обращающая знаменатель в ноль, всегда исключается, независимо от знака неравенства.

а) \(x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0\)

\(\pm1; \pm2\) - делители числа 2.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + 3\cdot(-1) + 2 = 0\)

\(-1 + 2 -3 + 2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = -1\) — корень уравнения.

\(x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x^2 + x + 2)\)

\((x + 1)(x^2 + x + 2)=0\)

\(x^2 + x + 2 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot2= \)

\(=1 - 8 = -7 < 0\) - корней нет.

Ответ: \( -1\).

б) \(x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0\)

\(\pm1;\, \pm2; \pm3; \pm6\) - делители числа 6.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3 + 4\cdot(-1)^2 - 3\cdot(-1) - 6 = 0\)

\(-1 + 4 +3 -6 =0\)

\(0=0\) - верно.

\(x = -1\) — корень уравнения.

\(x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = (x + 1)(x^2 + 3x - 6)\)

\( (x + 1)(x^2 + 3x - 6)=0\)

\(x^2 + 3x - 6 = 0\)

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) =\)

\(=9 + 24 = 33 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}\)

Ответ: \( -1,\; \dfrac{-3 + \sqrt{33}}{2},\; \dfrac{-3 - \sqrt{33}}{2}.\)

Пояснения:

Если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). Поэтому для уравнений с целыми коэффициентами удобно проверять несколько простых значений \(x\) (например, \(\pm1, \pm2, \pm3,\dots\)). Найденное значение, при котором многочлен обращается в ноль, даёт линейный множитель

\((x - x_0)\).

После нахождения корня \(x_0\) мы делим многочлен на \((x - x_0)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени. Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, а затем решить квадратное уравнение стандартными способами (формула дискриминанта, разложение на множители).

Квадратное уравнение

\(ax^{2} + bx + c = 0\)

решается через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.